　理科３年物理

仕事

[要点－仕事]

①仕事：
力が物体に対して行う力の作用と、その結果として物体が動く距離に関係する量です。

②仕事の定義：
「仕事」 = 力 × 距離
ただし、力と距離は同じ方向でなければなりません。

③仕事の単位：
仕事の単位はジュール（J）です。
これは、1 ニュートンの力で物体を 1 メートル動かしたときにする仕事の量を表します。

④まとめ：
仕事 = 力 × 距離（同じ方向の場合）
単位はジュール（J）
仕事率（パワー）は、単位時間あたりに行われる仕事の量で、単位はワット（W）。

例１：(仕事J)＝(力の大きさN)×(力の向きに動いた距離m)
例えば、5kgの物体を3mもちあげるとき、(仕事)＝50(N)×3(m)＝150(J)。

例２：
　

動滑車1個を使って、5kgの物体を3m持ち上げるとき、
ひもを引く力は物体にかかる重力50Nの半分になるが、
ひもを引く距離は3mの2倍になるので、(仕事)＝25(N)×6(m)＝150(J) となる。

例３：
(1)下図のような斜面で物体を引く力Fを求める。

　

(2)Aを垂直方向に3m持ち上げる仕事は、350(N)×3(m)＝1050(J)である。
斜面にそってFの力で持ち上げるときの仕事は、F(N)×7(m)＝7F(J)である。

(3)仕事の原理より、7F＝1050が成り立つので、F＝1050÷7＝150(N)である。

(4)1秒間にする仕事の大きさを仕事率(単位はW)という。
5kgの物体を3mもちあげるのに10秒かかったときの仕事率は、
仕事率＝50(N)×3(m)÷10秒＝15(W) である。

仕事率

①仕事率：
1秒あたりに行われる仕事の量を表します。

ここで、仕事の量は物体に加えられた仕事の大きさ（J）、
時間はその仕事にかかった時間（秒）です

例：
(1)質量1kgの物体を2m持ち上げるのに5秒かかったとする。
(2)1kg＝1000gの物体にかかる重力の大きさは10Nなので、持ち上げるのに必要な力は10Nである。
(3)このとき、(仕事J)＝(力の大きさN)×(力の向きに動いた距離m)＝10(N)×2(m)＝20(J)
(4)したがって、1秒間あたりの仕事量は、20(J)÷5(秒)＝4(J/秒)である。
(5)1秒間あたりの仕事量を仕事率といい、
1秒間あたり1Jの仕事をするとき、仕事率は1W(ワット)であるという。
したがって、このときの仕事率は4Wである。

②例題：
[問題]
20kgの物体を、高さ10mの屋上まで上げようと思う。
この物体を人がロープで引き上げたら、3分かかった。
しかし、モーターを使って引き上げたら、30秒で引き上げることができた。

100gの物体を引き上げるのに必要な力を1Nとして、次の各問いに答えよ。

(1) 人とモーターのした仕事はそれぞれいくらか。
(2) 人の仕事率はいくらか。四捨五入で小数第1位まで求めよ。
(3) モーターの仕事率はいくらか。四捨五入で小数第1位まで求めよ。

[解答]
(1)人：2000J　モーター：2000J　
(2) 11.1W　
(3) 66.7W

[解説]
(1) 20kg＝20000gの物体にかかる重力の大きさは、20000÷100＝200(N)であるので、
この物体を引き上げるのに必要な力は200Nである。

10m引き上げるときの仕事は、人が引き上げる場合も、
モーターを使って引き上げる場合も同じで、
(仕事J)＝(力の大きさN)×(力の方向に移動した距離m)＝200(N)×10(m)＝2000(J)である。

(2) 仕事率とは、1秒間にする仕事で、1秒間に1Jの仕事をするときの仕事率は1W(ワット)である。
すなわち、(仕事率W)＝(仕事J)÷(秒) である。
人の場合、引き上げるのに3分＝180秒かかっているので、
(仕事率W)＝(仕事J)÷(秒)＝2000(J)÷180(秒)＝約11.1(W) である。

(3)モーターの場合、引き上げるのに30秒かかっているので、
(仕事率W)＝(仕事J)÷(秒)＝2000(J)÷30(秒)＝約66.7(W) である。

摩擦力と仕事

①運動摩擦力：
物体が動こうとする向きと反対向きにはたらく力です。
ざらざらな面では摩擦力が強く働き、つるつるな面ではあまり働きません。
実際には摩擦力の大きさは垂直抗力の大きさに比例します。

②例題：
[問題]

　

上の図は、800gの木片を一定の速さで50cm引いたときのようすを表したものである。
このとき、ばねはかりの読みはつねに1.8Nを示した。これについて、下の各問いに答えよ。

(1) 木片が受ける摩擦力はいくらか。
(2) 仕事はいくらか。

[解答]
(1) 1.8N　
(2) 0.9J

[解説]

　

(1)木片に水平方向に働く力は、糸が木片を引く力と摩擦力の2つである。
(2)木片が等速で動くときこの2力は、つり合っているので、摩擦力は1.8Nである。
(3)(手がした仕事J)＝(木片を引く力N)×(距離m)＝1.8(N)×0.5(m)＝0.9(J)　
(4)このほか、木片には8Nの重力と床から上向きに受ける同じ大きさの抗力があるが、
木片の進行方向とは垂直で、垂直方向には移動していないので、重力のする仕事は0である。

仕事の原理：斜面

①斜面に沿った運動：
物体に力が加わると、その物体の運動の様子は変化します。
自由落下のように重力が作用し続けると、速さは一定の割合で増加します。
物体に力が加わらない場合、静止し続けるか、等速直線運動をします。

②等加速度直線運動:
物体に一定の大きさの力が加わり続けると、速さは一定の割合で変化します。
この運動は「等加速度直線運動」と呼ばれます。
自由落下も等加速度直線運動の一例です。

③斜面上の物体の重力と垂直抗力:
斜面に物体を置いた場合、重力の分力と垂直抗力が働きます。
重力の斜面に平行な分力のみが速さの変化を引き起こします。

④斜面の傾きと速さの変化:
斜面の傾きが大きいほど、速さの変化の割合も大きくなります。
斜面を下る運動よりも、真下に落下する運動の方が速さの増え方が大きくなります。

⑤例題：
[問題]

　

次の各問いに答えなさい。
(1) 上図の斜面の長さ(Xm)を求めなさい。
(2) 図は斜面上の台車を引き上げている様子を表している。
台車の質量が4kgのとき、人がひもを引く力はいくらか答えなさい。
ただし、100gの物体にはたらく重力を1Nとし、
ひもの重さや斜面との摩擦は考えないものとする。
(3) 図の人が斜面の一番下から一番上まで(2)の台車を引き上げたときにした
仕事の大きさを答えなさい。

[解答]
(1) 20m　
(2) 20N　
(3) 400J

[解説]

　

(1) 上図で、△ABCは30°60°90°の直角三角形なので、AB：AC＝2：1となる。
AC＝ED＝10mなので、AB＝10×2＝20(m)となる。

(2) 台車の質量が4kg＝4000gなので、
台車にかかる重力の大きさは、PQ＝4000÷100＝40(N)である。
上図で、△PQRと△ABCは相似なので、PQ：PR＝AB：AC が成り立つ。
B＝20(m)、AC＝10(m)、PQ=40(N)を代入すると、40：PR＝20：10、40：PR＝2：1　
よって、PR＝20(N)
人がひもを引く力はPRの大きさと同じなので20Nになる。

(3) (仕事J)＝(力の大きさN)×(力の方向に移動した距離m)＝20(N)×20(m)＝400(J)

仕事の原理：動滑車①

①動滑車：
動滑車は、固定されていない滑車です。
壁や天井には固定されておらず、糸を引き上げることで物体ごと持ち上げます。
手で引く力は物体の重さの1/2倍、手で引く距離は物体を持ち上げる高さの2倍になります。
仕事の原理により、動滑車を使って行う仕事は、動滑車を使わない場合の仕事と同じになります。

②例題：
[問題]

　

上の図のように、3kgの物体をゆっくり2m引き上げた。
滑車やひもの重さ、摩擦はないものとして、次の各問いに答えよ。
ただし、100gの物体にはたらく重力をlNとする。

(1) 物体を2m引き上げるために、人はひもを何m引くか。
(2) 物体をゆっくり引き上げているとき、天井のP点に加わっている力の大きさは何Nか。
(3) 物体を2m引き上げる間に、人がした仕事の量は何Jか。

[解答]
(1) 4m　
(2) 15N　
(3) 60J

[解説]
(1)3kg＝3000gの物体にかかる重力は、3000÷100＝30(N)である。

(2)動滑車を使っているので、引き上げるのに必要な力は、
直接手で持ち上げる場合の半分の15Nになる。

(3)そのかわりに、引くひもの長さは2倍の4mになる。

(4)したがって、(仕事J)＝(力の大きさN)×(力の方向に移動した距離m)
＝15(N)×4(m)
＝60(J)となる。

仕事の原理：動滑車②

①組み合わせ滑車：
複数の滑車を組み合わせてできた装置を組み合わせ滑車といいます。

例題: 20Nの重さの物体を3m持ち上げる場合
手で引く力は5N（物体の重さの1/4倍）
手で糸を引く距離は12m（物体を持ち上げる高さの4倍）
仕事は60J（位置エネルギーの変化量）となります。

②組み合わせ滑車の問題を解く際のコツ:
動滑車の数を数え、手で引く力は動滑車の数だけ1/2倍、
手で糸を引く距離は動滑車の数だけ2倍にします。

③例題：
[問題]
次の図①、②の組み合わせ滑車で、それぞれの質量の物体を1m引き上げるのに
必要な力Fとひもを引く長さを求めよ。

ただし、滑車の重さ、ひもの摩擦などは考えないものとする。
また、100gの物体を引き上げるのに必要な力を1Nとする。

　

[解答]
①力：100N　長さ：4m　
②力：150N　長さ：4m

[解説]

　

(1)上図で、Pは定滑車で力の方向を変えるだけなので、ひもをF(N)の力で引くと、
動滑車Qは右側のひもから上向きにF(N)の力で引かれる。
また、動滑車Qは天井から左側のひもを通して、F(N)の力で引かれる。
したがって、動滑車Qに働く上向きの力の合計は、2F(N)になる。

(2)動滑車Qは動滑車Rから下向きの力を受けるが、上向きの力と下向きの力はつり合っているので、
下向きの力は2F(N)になる。

(3)次に、動滑車Rに働く力を考える。
作用反作用の法則より、動滑車Rは動滑車Qから上向きに2F(N)の力で引かれる。
動滑車Rは天井からも2F(N)の力で引かれるので、合計4F(N)の上向きの力を受ける。

質量が40kg＝40000gの物体に働く重力の大きさは400Nであるので、
動滑車Rは物体から下向きに400Nの力を受ける。

(4)動滑車Rに働く上向きの力4F(N)と、下向きの力400Nはつり合うので、4F＝400 が成り立つ。
したがって、F＝400÷4＝100(N)

(5)次に、物体を1m引き上げるのに必要な、ひもを引く長さ (m)を求める。

ひもを100Nの力で (m)引くので手がする仕事は、
(仕事J)＝(力の大きさN)×(力の方向に移動した距離m)＝100(N)× (m)＝ (J)

(6)ところで、この40kgの物体を直接1m持ち上げるために必要な仕事は、
(仕事J)＝400(N)×1(m)＝400(J)

(7)仕事の原理より、100x＝400よって、x＝400÷100＝4(m)

　

(8)上図で、RとSは定滑車で力の方向を変えるだけなので、ひもをF(N)の力で引くと、
動滑車PとQはそれぞれ4点a、b、c、dで上向きにF(N)の力で引かれる。

(9)動滑車PとQを一体のものと考えると、この部分に働く上向きの力の合計は
F(N)×4＝4F(N)になる。

(10)質量が60kg＝60000gの物体に働く重力の大きさは600Nであるので、
動滑車PとQを一体のものとした部分には下向きに600Nの力がかかる。

(11)この下向きの力と上向きの力はつり合っているので、4F＝600　よって、
F＝600÷4＝150(N)

(12)ひもを150Nの力で (m)引くので手がする仕事は、
(仕事J)＝(力の大きさN)×(力の方向に移動した距離m)
＝150(N)× (m)
＝ (J)

(13)ところで、この60kgの物体を直接1m持ち上げるために必要な仕事は、
(仕事J)＝600(N)×1(m)＝600(J)

(14)仕事の原理より、150x＝600よって、x＝600÷150＝4(m)

仕事の原理：てこ

①てこの原理：
てこの原理は、力と腕の長さの積が一定であることを示します。
つまり、力×腕の長さ=一定です。

②物体がされた仕事と人がした仕事:
物体がされた仕事は、物体を持ち上げるために必要な仕事量です。
人がした仕事は、てこの右端を押し下げることで行う仕事です。

③てこの問題では、次の式が成り立ちます:
物体がされた仕事=人がした仕事

④例題：
[問題]

　

次の各問いに答えよ。ただし、100gの物体にかかる重力の大きさを1Nとする。

(1) 図のように、18kgの物体を0.4m持ち上げた。このとき、てこを下にさげた距離は何mか。
(2) てこに加えた力は何Nか。
(3) てこを使って物体を持ち上げたときの仕事は何Jか。
(4) 図のように道具を使っても、使わなくても仕事の大きさは変わらないことを何というか。

[解答]
(1) 0.8m　
(2) 90N　
(3) 72J　
(4) 仕事の原理

[解説]
(1)てこのうでの長さの比は、1：2なので、物体を0.4m持ち上げるためには、
2倍の距離0.8m押し下げなければならない。

(2)そのかわりに、てこを下に押す力は半分ですむ。

(3)質量18kg＝18000gの物体にかかる重力の大きさは、18000÷100＝180(N)なので、
力の大きさは90Nになる。

(4)
(手のした仕事J)
＝(加える力N)×(押した距離m)
＝90(N)×0.8(m)
＝72(J)

仕事の原理：輪軸

①輪軸：
物体を持ち上げるために使われる道具です。
大きい輪と小さい輪を組み合わせたもので、
直径の異なる2つの滑車を組み合わせたものとも言えます。
輪軸はてこの原理と同じように考えることができます。

②例題：
[問題]

　

上の図で、物体を1m引き上げるのに必要な力Fと、ひもを引く長さを求めよ。
ただし、ひもの摩擦などは考えないものとする。
また、100gの物体を引き上げるのに必要な力を1Nとする。

[解答]
力：200N　長さ：2.5m

[解説]
(1)50kg＝50000gの物体にかかる重力の大きさは、50000÷100＝500(N)である。

(2)2つの輪の半径の比が20：50＝2：5になっているので、
てこの場合と同様に、手がひもを引く力は倍になる。
したがって、F＝500(N)× 2/5＝200(N)

(3)この輪軸で、力が 2/5 になるので、ひもを引く長さは 5/2 倍になる。
したがって、(ひもを引く長さ)＝1(m)× 5/2＝2.5(m)