解答 個数 \(24\) 個、総和 \(1170\)
解説
素因数分解すると \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\)
正の約数は \(2^a \cdot 3^b \cdot 5^c\)（\(a=0,1,2,3\)，\(b=0,1,2\)，\(c=0,1\)）の形で表されるから、個数は
\[(3+1)(2+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24 \text{（個）}\]総和は
\[(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)(1+5) = 15 \times 13 \times 6 = 1170\]解答 \(19\)
解説
\[\begin{aligned} 1615 &= 1197 \times 1 + 418\\ 1197 &= 418 \times 2 + 361\\ 418 &= 361 \times 1 + 57\\ 361 &= 57 \times 6 + 19\\ 57 &= 19 \times 3 \end{aligned}\]割り切れたときの割る数 \(19\) が最大公約数である。
（確認：\(1197 = 19 \times 63\)，\(1615 = 19 \times 85\)，\(63\) と \(85\) は互いに素）
解答 \((a,\ b) = (12,\ 360),\ (24,\ 180),\ (36,\ 120),\ (60,\ 72)\)
解説
最大公約数が \(12\) だから、\(a = 12a'\)，\(b = 12b'\)（\(a'\) と \(b'\) は互いに素な自然数，\(a' < b'\)）とおける。
最小公倍数は \(12a'b'\) だから \(12a'b' = 360\) より \(a'b' = 30\)
\(a'b' = 30\)，\(a' < b'\) で、互いに素な組は
\[(a',\ b') = (1,\ 30),\ (2,\ 15),\ (3,\ 10),\ (5,\ 6)\]それぞれ \(12\) 倍して答えを得る。
解答 \(x = 12k - 3,\ y = -7k + 2\)（\(k\) は整数）
解説
\(x = -3,\ y = 2\) は \(7 \cdot (-3) + 12 \cdot 2 = 3\) を満たすので、1つの解である。
\[\begin{aligned} 7x + 12y &= 3\\ 7 \cdot (-3) + 12 \cdot 2 &= 3 \end{aligned}\]辺々引くと
\[7(x+3) = -12(y-2)\]\(7\) と \(12\) は互いに素だから、\(x + 3\) は \(12\) の倍数である。\(x + 3 = 12k\)（\(k\) は整数）とおくと
\[7 \cdot 12k = -12(y-2) \quad \text{より} \quad y - 2 = -7k\]よって \(x = 12k - 3,\ y = -7k + 2\)
証明
\[n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)\,n\,(n+1)\]これは連続する \(3\) つの整数の積である。
連続する \(2\) つの整数のうち一方は偶数だから、\((n-1)n(n+1)\) は \(2\) の倍数である。
また、連続する \(3\) つの整数のうち \(1\) つは \(3\) の倍数だから、\((n-1)n(n+1)\) は \(3\) の倍数である。
\(2\) と \(3\) は互いに素だから、\(n^3 - n\) は \(6\) の倍数である。 （終）
参考 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類して確かめることもできる。
| \(n\) を \(3\) で割った余り | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(3\) の倍数になる因数 | \(n\) | \(n-1\) | \(n+1\) |
解答 (1) \(101101_{(2)}\) (2) \(53\)
解説
(1) \(2\) で割り続け、余りを下から順に並べる。
| 2 | 45 | … 1 |
| 2 | 22 | … 0 |
| 2 | 11 | … 1 |
| 2 | 5 | … 1 |
| 2 | 2 | … 0 |
| 1 |
よって \(45 = 101101_{(2)}\)
(2)
\[110101_{(2)} = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2 + 1 = 32 + 16 + 4 + 1 = 53\]解答 (1) \(1\) (2) \(1\) (3) \(6\)
解説
\(a = 7m + 3\)，\(b = 7n + 5\)（\(m,\ n\) は整数）とおく。
(1) \(a + b = 7(m+n) + 8 = 7(m+n+1) + 1\) より 余りは \(1\)
(2) \(ab = (7m+3)(7n+5) = 7(7mn + 5m + 3n) + 15 = 7(7mn + 5m + 3n + 2) + 1\) より 余りは \(1\)
(3) \(a^2 + b^2\) を \(7\) で割った余りは、\(3^2 + 5^2 = 34\) を \(7\) で割った余りに等しい。
\[34 = 7 \times 4 + 6\]よって 余りは \(6\)
解答 \(2\)
解説
\(2^n\) を \(7\) で割った余りを調べると
| \(n\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 余り | \(2\) | \(4\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(1\) | \(\cdots\) |
\(2^3 = 8 = 7 + 1\) より、余りは \(2,\ 4,\ 1\) をくり返す。
\[2^{100} = 2^{3 \times 33 + 1} = (2^3)^{33} \times 2\]\((2^3)^{33}\) を \(7\) で割った余りは \(1^{33} = 1\) だから、\(2^{100}\) を \(7\) で割った余りは \(1 \times 2 = 2\)
解答 \(7\) 個、最大のものは \(98\)
解説
求める自然数を \(N\) とすると、\(N = 3x + 2 = 5y + 3\)（\(x,\ y\) は \(0\) 以上の整数）と表せる。
\[3x - 5y = 1\]\(x = 2,\ y = 1\) は1つの解だから、\(3(x-2) = 5(y-1)\) より \(x - 2 = 5k\)，すなわち \(x = 5k + 2\)（\(k\) は整数）
よって \(N = 3(5k+2) + 2 = 15k + 8\)
\(1 \leqq 15k + 8 \leqq 100\) を満たす整数 \(k\) は \(k = 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) の \(7\) 個
\(N = 8,\ 23,\ 38,\ 53,\ 68,\ 83,\ 98\) で、最大のものは \(98\)
解答 \((x,\ y) = (2,\ 3)\)
解説
左辺を積の形に変形する。
\[\begin{aligned} xy + 2x - y &= 7\\ x(y + 2) - (y + 2) &= 7 - 2\\ (x - 1)(y + 2) &= 5 \end{aligned}\]\(x,\ y\) は自然数だから \(x - 1 \geqq 0\)，\(y + 2 \geqq 3\)
積が \(5\) で \(y + 2 \geqq 3\) となるのは \(x - 1 = 1,\ y + 2 = 5\) のみ。
よって \(x = 2,\ y = 3\)
（確認：\(2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 - 3 = 7\)）