数学検定準2級

解説
2027 ≡ −1 (mod 12) より、
2027²⁰²⁶ ≡ (−1)²⁰²⁶ = 1 (mod 12)。
したがって、余りは 1 です。

解説
3³ = 27 ≡ 1 (mod 13) であり、101 = 3 × 33 + 2 なので、
3¹⁰¹ = (3³)³³ × 3² ≡ 1³³ × 9 = 9 (mod 13)。

解説
2つの数の最大公約数を d とすると、
3(5n + 4) − 5(3n + 2) = 2 より、d は 2 の約数です。
n が偶数なら両方とも偶数なので d = 2。n が奇数なら両方とも奇数なので d = 1 です。
よって、1 から 120 までの奇数の個数 120 ÷ 2 = 60 個です。

解説
最大公約数 d は、7(5n + 2) − 5(7n + 4) = −6 より 6 の約数です。
共通の素因数をもたない条件は、2 と 3 のどちらでも同時に割り切れないことです。
両方が 2 の倍数になるのは n が偶数のとき、両方が 3 の倍数になるのは n ≡ 2 (mod 3) のときです。
したがって n ≡ 1, 3 (mod 6)。
1, 7, …, 97 は 17 個、3, 9, …, 99 も 17 個なので、合計 34 個です。

解説
最初の2条件から n = 15k + 7 と表せます。
これを 7 で割った余りは k の余りと等しいので、k ≡ 3 (mod 7)。
k = 7t + 3 とおくと、n = 105t + 52（t は整数）。
正になる最小の値は t = 0 のときの 52 です。

解説
最初の2条件から n = 20k + 11。9 を法として、
2k + 2 ≡ 5、すなわち 2k ≡ 3 (mod 9)。
両辺に 5 をかけると k ≡ 6 (mod 9) なので、n = 180t + 131。
1500 以下では t の最大値は 7 であり、180 × 7 + 131 = 1391 です。

解説
n = 5k + 2 とおくと、5k ≡ 2 (mod 7)。両辺に 3 をかけて k ≡ 6 (mod 7) です。
よって n = 35t + 32（t は整数）。
1 ≤ 35t + 32 ≤ 500 より、t = 0, 1, …, 13。したがって 14 個です。

解説
1組の解は (x, y) = (2, −3) です。これをもとの式から引くと、
11(x − 2) = −7(y + 3)。
11 と 7 は互いに素なので、x − 2 は 7 の倍数です。x − 2 = 7t とおくと y + 3 = −11t。
したがって上の形で表せます。逆に、任意の整数 t を代入すると必ずもとの式が成り立ちます。

解説
4 を法として 3y ≡ 0 (mod 4) より、y は 4 の倍数です。
y = 4t とおくと x = 25 − 7t。x ≥ 0, y ≥ 0 より t = 0, 1, 2, 3 です。
それぞれを代入すると、上の4組が得られます。

解説
同じ n に対する2組の解では、5(x₁ − x₂) = −7(y₁ − y₂) です。5 と 7 は互いに素なので、異なる y の値は少なくとも 5 ずつ離れます。
8組の負でない整数解があるなら、最大の y は少なくとも 5 × 7 = 35。したがって n = 5x + 7y ≥ 245 が必要です。
n = 245 のとき、y = 5t、x = 49 − 7t となり、t = 0, 1, …, 7 のちょうど8組です。
よって最小の n は 245 です。