\(\triangle \mathrm{ABC}\) において，\(\mathrm{AB}=6\)，\(\mathrm{BC}=5\)，\(\mathrm{CA}=4\) である。\(\angle \mathrm{A}\) の二等分線と辺 \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{D}\) とするとき，線分 \(\mathrm{BD}\) の長さを求めなさい。
角の二等分線の性質より
\[\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=6:4=3:2\]
よって
\[\mathrm{BD}=5\times\frac{3}{3+2}=3\]
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の内心を \(\mathrm{I}\) とする。\(\angle \mathrm{BAC}=70^\circ\) のとき，\(\angle \mathrm{BIC}\) の大きさを求めなさい。
\(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB}=180^\circ-70^\circ=110^\circ\)
内心は角の二等分線の交点なので
\[\angle \mathrm{IBC}+\angle \mathrm{ICB}=\frac{1}{2}\times110^\circ=55^\circ\]
よって \(\angle \mathrm{BIC}=180^\circ-55^\circ=125^\circ\)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の外心を \(\mathrm{O}\) とする。\(\angle \mathrm{OBA}=20^\circ\)，\(\angle \mathrm{OCA}=30^\circ\) のとき，\(\angle \mathrm{BOC}\) の大きさを求めなさい。
\(\mathrm{OA}=\mathrm{OB}\) より \(\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=20^\circ\)
\(\mathrm{OA}=\mathrm{OC}\) より \(\angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OCA}=30^\circ\)
よって \(\angle \mathrm{BAC}=20^\circ+30^\circ=50^\circ\)
中心角は円周角の2倍なので \(\angle \mathrm{BOC}=2\times50^\circ=100^\circ\)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心を \(\mathrm{G}\) とし，直線 \(\mathrm{AG}\) と辺 \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{D}\) とする。\(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積が \(48\) のとき，\(\triangle \mathrm{GBD}\) の面積を求めなさい。
\(\mathrm{D}\) は辺 \(\mathrm{BC}\) の中点なので \(\triangle \mathrm{ABD}=\dfrac{1}{2}\times48=24\)
重心は中線を \(2:1\) に内分するので \(\mathrm{AG}:\mathrm{GD}=2:1\)
\[\triangle \mathrm{GBD}=24\times\frac{1}{3}=8\]
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の辺 \(\mathrm{BC}\)，\(\mathrm{CA}\)，\(\mathrm{AB}\) 上にそれぞれ点 \(\mathrm{D}\)，\(\mathrm{E}\)，\(\mathrm{F}\) があり，3直線 \(\mathrm{AD}\)，\(\mathrm{BE}\)，\(\mathrm{CF}\) は1点で交わっている。\(\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=2:3\)，\(\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=4:1\) のとき，\(\mathrm{CE}:\mathrm{EA}\) を最も簡単な整数の比で表しなさい。
チェバの定理より
\[\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1\]
\[\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{1}\cdot\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1 \quad\text{より}\quad \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{3}{8}\]
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において，辺 \(\mathrm{AB}\) を \(2:1\) に内分する点を \(\mathrm{F}\)，辺 \(\mathrm{AC}\) を \(3:2\) に内分する点を \(\mathrm{E}\) とし，線分 \(\mathrm{BE}\) と線分 \(\mathrm{CF}\) の交点を \(\mathrm{P}\) とする。\(\mathrm{BP}:\mathrm{PE}\) を最も簡単な整数の比で表しなさい。
\(\triangle \mathrm{ABE}\) と直線 \(\mathrm{FC}\) について，メネラウスの定理より
\[\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{CA}}=1\]
\(\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=2:1\)，\(\mathrm{EC}:\mathrm{CA}=2:5\) なので
\[\frac{2}{1}\cdot\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot\frac{2}{5}=1 \quad\text{より}\quad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}=\frac{5}{4}\]
下の図で，直線 \(\ell\) は点 \(\mathrm{A}\) で円に接している。\(\ell\) と弦 \(\mathrm{AB}\) のなす角が \(70^\circ\)，\(\angle \mathrm{ABC}=60^\circ\) のとき，\(\angle \mathrm{BAC}\) の大きさを求めなさい。
接弦定理より，接線と弦 \(\mathrm{AB}\) のなす角は，弧 \(\mathrm{AB}\) に対する円周角 \(\angle \mathrm{ACB}\) に等しいので
\(\angle \mathrm{ACB}=70^\circ\)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の内角の和より
\[\angle \mathrm{BAC}=180^\circ-(60^\circ+70^\circ)=50^\circ\]
四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は円に内接し，辺 \(\mathrm{BC}\) の \(\mathrm{C}\) を越える延長上に点 \(\mathrm{E}\) をとる。\(\angle \mathrm{DCE}=80^\circ\)，\(\angle \mathrm{ABD}=30^\circ\) のとき，\(\angle \mathrm{ACB}\) の大きさを求めなさい。
円に内接する四角形の外角は，それと隣り合う内角の対角に等しいので
\(\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DCE}=80^\circ\)
\(\triangle \mathrm{ABD}\) において \(\angle \mathrm{ADB}=180^\circ-(80^\circ+30^\circ)=70^\circ\)
弧 \(\mathrm{AB}\) に対する円周角は等しいので \(\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}=70^\circ\)
円の外部の点 \(\mathrm{P}\) から引いた直線が円と2点 \(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\) で交わり，\(\mathrm{PA}=3\)，\(\mathrm{AB}=5\) である。また，点 \(\mathrm{P}\) から円に引いた接線の接点を \(\mathrm{T}\) とする。線分 \(\mathrm{PT}\) の長さを求めなさい。
方べきの定理より
\[\mathrm{PT}^2=\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=3\times(3+5)=24\]
\(\mathrm{PT}>0\) より \(\mathrm{PT}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)
半径 \(5\) の円 \(\mathrm{O}\) と半径 \(3\) の円 \(\mathrm{O'}\) があり，中心間の距離 \(\mathrm{OO'}\) は \(10\) である。2つの円の共通外接線が円 \(\mathrm{O}\)，円 \(\mathrm{O'}\) と接する点をそれぞれ \(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\) とするとき，線分 \(\mathrm{AB}\) の長さを求めなさい。
\(\mathrm{OA}\perp\mathrm{AB}\)，\(\mathrm{O'B}\perp\mathrm{AB}\) である。点 \(\mathrm{O'}\) を通り \(\mathrm{AB}\) に平行な直線と \(\mathrm{OA}\) との交点を \(\mathrm{H}\) とすると
\(\mathrm{OH}=5-3=2\)，\(\mathrm{O'H}=\mathrm{AB}\)，\(\angle \mathrm{OHO'}=90^\circ\)
三平方の定理より
\[\mathrm{AB}=\mathrm{O'H}=\sqrt{10^2-2^2}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\]