問1 角の二等分線と辺の比
△ABC において AB＝8、AC＝12、BC＝15 とする。∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき、BD、DC の長さを求めなさい。
解答・解説
解答：BD＝6、DC＝9
角の二等分線の定理より、BD：DC＝AB：AC＝2：3。したがって、BD＝15×25＝6、DC＝15×35＝9。
数学検定準2級
【高校数学 A】 図形の性質
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図は模式図です。長さや角度は問題文の条件に従ってください。
問2 チェバの定理
△ABC の辺 BC、CA、AB 上にそれぞれ点 D、E、F があり、AD、BE、CF は1点で交わる。BD：DC＝2：3、CE：EA＝4：5 のとき、AF：FB を求めなさい。
解答・解説
解答：AF：FB＝15：8
チェバの定理より、BDDC・CEEA・AFFB＝1。よって 23×45×AFFB＝1 となるので、AFFB＝158。
問3 角の二等分線とチェバの定理
△ABC において AB＝10 とする。∠A の二等分線と辺 BC の交点を D、辺 AB を 3：2 に内分する点を E（AE：EB＝3：2）、辺 AC を 2：5 に内分する点を F（AF：FC＝2：5）とする。AD、CE、BF が1点で交わるとき、AC の長さを求めなさい。
解答・解説
解答：AC＝752
チェバの定理より、BDDC×CFFA×AEEB＝1。したがって BDDC×52×32＝1 より、BD：DC＝4：15。角の二等分線の定理から AB：AC＝4：15 なので、AC＝10×154＝752。
問4 メネラウスの定理
△ABC の辺 AB、AC 上にそれぞれ点 F、E をとり、辺 BC を C の側に延長した直線上に点 D をとる。F、E、D は一直線上にあり、AF：FB＝3：2、BC：CD＝2：1 である。AE：EC を求めなさい。
解答・解説
解答：AE：EC＝9：2
BD＝BC＋CD より BD：DC＝3：1。メネラウスの定理より、AFFB×BDDC×CEEA＝1。よって 32×3×CEEA＝1 から CE：EA＝2：9。したがって AE：EC＝9：2。
問5 二等辺三角形と角の二等分線
△ABC は AB＝AC、∠C＝72° の二等辺三角形である。∠B の二等分線と辺 AC の交点を D とする。AD：DC を求めなさい。
解答・解説
解答：AD：DC＝(1＋√5)：2
∠A＝180°−72°−72°＝36°、∠ABD＝∠DBC＝36°。したがって △ABD は AD＝BD、△BCD は BD＝BC。AD＝BD＝BC＝x、AB＝AC＝y とおくと、DC＝y−x。角の二等分線の定理より xy−x＝yx。よって y²−xy−x²＝0。t＝y/x とおくと t²−t−1＝0 より t＝1＋√52（t＞0）。AD：DC＝1：(t−1)＝1：√5−12＝(1＋√5)：2。
問6 重心と面積
△ABC の辺 BC の中点を D、重心を G とする。AD＝15、△ABC の面積が 72 のとき、AG の長さと △GBC の面積を求めなさい。
解答・解説
解答：AG＝10、△GBC の面積＝24
重心は中線を頂点側から 2：1 に内分するので、AG＝15×23＝10。G から BC への高さは A から BC への高さの 13。底辺 BC が共通なので、△GBC の面積＝72×13＝24。
問7 内心と角
△ABC の内心を I とし、∠A＝64° とする。∠BIC の大きさを求めなさい。
解答・解説
解答：122°
BI、CI はそれぞれ ∠B、∠C の二等分線である。△BIC において、∠BIC＝180°−∠B＋∠C2＝180°−180°−64°2＝122°。一般に ∠BIC＝90°＋∠A2。
問8 円に内接する四角形
四角形 ABCD は円に内接し、頂点 A、B、C、D は円周上にこの順に並ぶ。∠BAD＝78°、∠ABD＝34° のとき、∠BCD、∠ACD の大きさを求めなさい。
解答・解説
解答：∠BCD＝102°、∠ACD＝34°
円に内接する四角形の対角の和は 180° だから、∠BCD＝180°−78°＝102°。また ∠ABD と ∠ACD は同じ弦 AD に対する、同じ側の円周角なので等しい。よって ∠ACD＝34°。
問9 方べきの定理（交わる弦）
円の内部で2本の弦 AB、CD が点 P で交わる。AP＝3、PB＝8、CP＝4 のとき、PD の長さを求めなさい。
解答・解説
解答：PD＝6
円の内部で交わる2本の弦について、方べきの定理より AP・PB＝CP・PD。したがって 3×8＝4×PD より PD＝6。
問10 方べきの定理（接線と割線）
円の外部の点 P から引いた接線の接点を T とする。また、P を通る別の直線は円と A、B で交わり、P、A、B はこの順に並ぶ。PA＝4、AB＝5 のとき、PT の長さを求めなさい。
解答・解説
解答：PT＝6
PB＝PA＋AB＝4＋5＝9。接線と割線についての方べきの定理より PT²＝PA・PB＝4×9＝36。長さは正なので PT＝6。