目の出方は全部で \(6\times 6=36\)（通り）あり，これらは同様に確からしい。
和が 8 になるのは，（大，小）＝\((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\) の 5 通り。
| 大＼小 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
よって，求める確率は \(\dfrac{5}{36}\)
9 枚から 3 枚を取り出す方法は \({}_9\mathrm{C}_3=\dfrac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84\)（通り）
奇数の番号は 1，3，5，7，9 の 5 枚なので，3 枚とも奇数となる取り出し方は \({}_5\mathrm{C}_3=10\)（通り）
よって，求める確率は \(\dfrac{10}{84}=\dfrac{5}{42}\)
7 人から 3 人を選ぶ方法は \({}_7\mathrm{C}_3=35\)（通り）
男子 4 人から 2 人，女子 3 人から 1 人を選ぶ方法は \({}_4\mathrm{C}_2\times{}_3\mathrm{C}_1=6\times 3=18\)（通り）
よって，求める確率は \(\dfrac{18}{35}\)
3 の倍数である事象を \(A\)，5 の倍数である事象を \(B\) とする。
\(n(A)=33\)（\(3\times 1\) ～ \(3\times 33\)），\(n(B)=20\)，\(A\cap B\) は 15 の倍数で \(n(A\cap B)=6\)
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{33}{100}+\dfrac{20}{100}-\dfrac{6}{100}=\dfrac{47}{100}\)
1 回の試行で表が出る確率は \(\dfrac{1}{2}\)。5 回のうち表が出る 3 回の選び方は \({}_5\mathrm{C}_3\) 通りあるので，反復試行の確率より
\[ {}_5\mathrm{C}_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2=10\times\frac{1}{32}=\frac{5}{16} \]
「少なくとも 1 回は 6 の目が出る」の余事象は「4 回とも 6 以外の目が出る」である。
4 回とも 6 以外の目が出る確率は \(\left(\dfrac{5}{6}\right)^4=\dfrac{625}{1296}\)
よって，求める確率は \(1-\dfrac{625}{1296}=\dfrac{671}{1296}\)
1 回目の結果で場合分けして考える。
(i) 1 回目赤，2 回目赤：\(\dfrac{4}{7}\times\dfrac{3}{6}=\dfrac{12}{42}\)
(ii) 1 回目白，2 回目赤：\(\dfrac{3}{7}\times\dfrac{4}{6}=\dfrac{12}{42}\)
(i)，(ii) は互いに排反なので，求める確率は \(\dfrac{12}{42}+\dfrac{12}{42}=\dfrac{24}{42}=\dfrac{4}{7}\)
（参考：くじびきと同様に，取り出す順番によらず赤玉である確率は \(\dfrac{4}{7}\) になる。）
取り出した製品が工場 A の製品である事象を \(A\)，工場 B の製品である事象を \(B\)，不良品である事象を \(E\) とする。
| 不良品 \(E\) | 良品 | 計 | |
|---|---|---|---|
| 工場 \(A\) | \(0.6\times 0.03=0.018\) | \(0.582\) | \(0.6\) |
| 工場 \(B\) | \(0.4\times 0.05=0.020\) | \(0.380\) | \(0.4\) |
| 計 | \(0.038\) | \(0.962\) | \(1\) |
\(P(E)=P(A\cap E)+P(B\cap E)=0.018+0.020=0.038\)
求める確率は条件付き確率 \(P_E(A)\) であるから
\[ P_E(A)=\frac{P(A\cap E)}{P(E)}=\frac{0.018}{0.038}=\frac{9}{19} \]
賞金とその確率をまとめると，次の表のようになる。
| 賞金（円） | 600 | 150 | 0 | 計 |
|---|---|---|---|---|
| 確率 | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{2}{6}\) | \(\dfrac{3}{6}\) | 1 |
\[ 600\times\frac{1}{6}+150\times\frac{2}{6}+0\times\frac{3}{6}=100+50+0=150 \]
よって，期待値は 150 円
A が 4 試合目で優勝するのは，「3 試合目までに A が 2 勝 1 敗」であり，かつ「4 試合目に A が勝つ」場合である。
3 試合目までに A が 2 勝 1 敗となる確率は \({}_3\mathrm{C}_2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}\right)=3\times\dfrac{4}{9}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{9}\)
よって，求める確率は \(\dfrac{4}{9}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}\)
（注意：4 試合目の勝ちは確定しているので，\({}_4\mathrm{C}_3\) としないこと。）