数学検定準2級

【高校数学 A】 確率

全10問・問題番号と順番は固定です。▼をクリックすると解答・解説を表示します。

問1連勝による終了①

公平なさいころを繰り返し投げ、奇数ならAの勝ち、偶数ならBの勝ちとする。どちらかが3連勝した時点で終了する。
ちょうど3回で終了する確率を求めなさい。

解答・解説
解答： 14

解説

3回で終了する勝敗の並びは AAA、BBB の2通り。各回の勝敗は独立で、どの並びも同様に確からしい。
2 × 123 = 14

問2連勝による終了②

公平なさいころを繰り返し投げ、奇数ならAの勝ち、偶数ならBの勝ちとする。どちらかが3連勝した時点で終了する。
ちょうど4回で終了する確率を求めなさい。

解答・解説
解答： 18

解説

最後の3回は同じ人の勝ちであり、1回目はその人の負けでなければならない。該当する並びは BAAA、ABBB の2通り。
2 × 124 = 18
AAAA と BBBB は3回目で終了するので含めない。

問3試行が続く確率

公平なさいころを繰り返し投げ、奇数ならAの勝ち、偶数ならBの勝ちとする。どちらかが3連勝した時点で終了する。
試行が5回以上続き、かつ4回目がAの勝ちである確率を求めなさい。

解答・解説
解答： 516

解説

最初の4回で AAA も BBB も現れず、最後がAになる並びを数える。該当するのは AABA、ABAA、ABBA、BABA、BBAA の5通り。
524 = 516
「5回以上続く」とは、4回目までに終了しないことを意味する。

問4先に3回出る試行①

公平な硬貨を繰り返し投げ、表または裏の出た合計回数が3回になった時点で終了する。連続している必要はない。
ちょうど3回で終了する確率を求めなさい。

解答・解説
解答： 14

解説

3回で終了するのは、表表表 または 裏裏裏 の場合だけである。
2 × 123 = 14

問5先に3回出る試行②

公平な硬貨を繰り返し投げ、表または裏の出た合計回数が3回になった時点で終了する。連続している必要はない。
ちょうど4回で終了する確率を求めなさい。

解答・解説
解答： 38

解説

表が3回になって終了する場合、4回目は表で、最初の3回は表2回・裏1回。その並びは 3C2 = 3 通り。裏で終了する場合も同じ数なので、
2 × 3C2 × 124 = 38

問6終了回数の確率分布

公平な硬貨を繰り返し投げ、表または裏の出た合計回数が3回になった時点で終了する。連続している必要はない。
終了までに投げる回数を X とする。X の確率分布を表にまとめなさい。

解答・解説
解答：
X345計
確率1438381

解説

終了回数は3、4、5のいずれか。5回で終了するには、最初の4回が表2回・裏2回であればよく、5回目は表でも裏でもよい。
P(X = 5) = 4C2 × 124 = 38
確率の和は 14 + 38 + 38 = 1 となる。

問7勝つ確率が異なる場合

AとBが、引き分けのない試合を繰り返す。各試合でAが勝つ確率は 23、Bが勝つ確率は 13 で、各試合の結果は独立とする。どちらかが通算3勝した時点で終了する。
ちょうど4試合で終了する確率を求めなさい。

解答・解説
解答： 1027

解説

Aが優勝する場合は、最初の3試合でAが2勝し、4試合目もAが勝つ。Bが優勝する場合も同様に数える。
3C2(23)3(13) + 3C2(13)3(23)
= 827 + 227 = 1027

問8終了確率の一般式

整数 k ≥ 2 に対し、公平な硬貨を繰り返し投げ、表または裏の出た合計回数が k 回になった時点で終了する。ちょうど n 回で終了する確率を pn とする。
k ≤ n ≤ 2k − 1 のとき、pn を求めなさい。

解答・解説
解答： pn = n−1Ck−12n−1

解説

表が k 回になって終了するとき、最後は表で、最初の n − 1 回は表が k − 1 回、裏が n − k 回。裏は k − 1 回以下なので、それ以前に試行は終了しない。裏で終了する場合も同数である。
pn = 2 × n−1Ck−1 × 12n = n−1Ck−12n−1

問9隣り合う終了確率の比

整数 k ≥ 2 に対し、公平な硬貨を繰り返し投げ、表または裏の出た合計回数が k 回になった時点で終了する。ちょうど n 回で終了する確率を pn とする。
k ≤ n ≤ 2k − 2 のとき、pn+1pn を求めなさい。

解答・解説
解答： n2(n − k + 1)

解説

第8問の一般式より、
pn+1pn = nCk−1n−1Ck−1 × 12 = nn − k + 1 × 12
組合せの比は、階乗の式に直して約分すると得られる。

問10終了確率が最大になる回数

整数 k ≥ 2 に対し、公平な硬貨を繰り返し投げ、表または裏の出た合計回数が k 回になった時点で終了する。ちょうど n 回で終了する確率を pn とする。
pn が最大となる n をすべて求めなさい。

解答・解説
解答： n = 2k − 2、2k − 1

解説

第9問の比と1を比較する。
pn+1pn − 1 = 2k − 2 − n2(n − k + 1)
分母は正である。n < 2k − 2 では比は1より大きく、n = 2k − 2 では比は1になる。したがって最後の2つの確率が等しく、どちらも最大である。k = 2 のときも、n = 2、3 でともに最大となる。