答え：18通り
500円硬貨の枚数で場合分けする。
・500円が0枚：残り1000円を100円と50円で払う。100円は0〜10枚の11通り。
・500円が1枚：残り500円。100円は0〜5枚の6通り。
・500円が2枚：残り0円。1通り。
よって \(11+6+1=18\)（通り）
答え：133通り
全体は \(6^3=216\)（通り）。積が6の倍数にならない場合を考える。
積が2の倍数でない（すべて奇数）：\(3^3=27\)（通り）
積が3の倍数でない（3, 6 が出ない）：\(4^3=64\)（通り）
その両方（すべて 1 か 5）：\(2^3=8\)（通り）
6の倍数にならないのは \(27+64-8=83\)（通り）。
よって \(216-83=133\)（通り）
答え：(1) 300個 (2) 108個
(1) 千の位は0以外の5通り。残りの3つの位は、残り5個から3個を並べて \({}_5\mathrm{P}_3=60\)。
\(5\times 60=300\)（個）
(2) 一の位が0か5の場合。
・一の位が0：残り5個から3個を並べて \({}_5\mathrm{P}_3=60\)（個）
・一の位が5：千の位は 1, 2, 3, 4 の4通り、百・十の位は残り4個から2個で \({}_4\mathrm{P}_2=12\)。\(4\times 12=48\)（個）
よって \(60+48=108\)（個）
答え：(1) 126通り (2) 60通り (3) 24通り
右へ1区画進むことを→、上へ1区画進むことを↑で表す。
(1) →5個、↑4個の並べ方なので \(\dfrac{9!}{5!\,4!}={}_9\mathrm{C}_4=126\)（通り）
(2) A→P：→2個、↑1個で \({}_3\mathrm{C}_1=3\)。P→B：→3個、↑3個で \({}_6\mathrm{C}_3=20\)。
\(3\times 20=60\)（通り）
(3) PとQの両方を通る経路：A→P が3通り、P→Q（→2個、↑2個）が \({}_4\mathrm{C}_2=6\)、Q→B（→1個、↑1個）が2通り。
\(3\times 6\times 2=36\)（通り）
よって \(60-36=24\)（通り）
答え：(1) 120通り (2) 12通り
(1) 6人の円順列なので \((6-1)!=5!=120\)（通り）
(2) まず男子3人を円形に並べる：\((3-1)!=2\)（通り）。
男子の間の3か所に女子3人を並べる：\(3!=6\)（通り）。
\(2\times 6=12\)（通り）
答え：(1) 840通り (2) 120通り (3) 40通り
(1) U が3個含まれるので \(\dfrac{7!}{3!}=840\)（通り）
(2) UUU を1つのまとまりと考えると、[UUU], S, G, A, K の5個の並べ方で \(5!=120\)（通り）
(3) 両端の S, K の並べ方は \(2!=2\)（通り）。
間の5文字 U, U, U, G, A の並べ方は \(\dfrac{5!}{3!}=20\)（通り）。
\(2\times 20=40\)（通り）
答え：(1) 56個 (2) 16個
(1) 3点が一直線上に並ぶことはないので \({}_8\mathrm{C}_3=56\)（個）
(2) 正八角形と辺を共有する三角形を数える。
・2辺を共有する：連続する3頂点を選ぶ場合で、8個
・1辺だけを共有する：共有する辺の選び方が8通り。残りの1頂点は、その辺の両端とその隣の頂点を除いた \(8-4=4\) 通り。\(8\times 4=32\)（個）
辺を共有するのは \(8+32=40\)（個）。
よって \(56-40=16\)（個）
答え：(1) 1680通り (2) 280通り (3) 70通り
(1) \({}_9\mathrm{C}_3\times{}_6\mathrm{C}_3\times{}_3\mathrm{C}_3=84\times 20\times 1=1680\)（通り）
(2) (1) で部屋の区別をなくす。3つの組の入れかえ \(3!=6\) 通りが同じ分け方になるので
\(\dfrac{1680}{3!}=280\)（通り）
(3) P, Q と同じ組になるもう1人を残り7人から選ぶ：7通り。
残り6人を3人ずつ2組に分ける：\(\dfrac{{}_6\mathrm{C}_3}{2!}=10\)（通り）。
\(7\times 10=70\)（通り）
答え：(1) 66個 (2) 36個
(1) 10個の○と2本の仕切り｜の並べ方に対応する。
例：○○○｜○○○○○｜○○ → \((x,\ y,\ z)=(3,\ 5,\ 2)\)
12か所から仕切りの位置2か所を選んで \({}_{12}\mathrm{C}_2=66\)（個）
(2) \(x=X+1,\ y=Y+1,\ z=Z+1\)（\(X,\ Y,\ Z\) は0以上の整数）とおくと \(X+Y+Z=7\)。
9か所から2か所を選んで \({}_9\mathrm{C}_2=36\)（個）
（別解）10個の○の間の9か所から、仕切りを入れる2か所を選ぶと考えてもよい。
答え：72通り
A はすべての部分と隣り合うので、先に A を塗る：4通り。
B, C, D, E は A 以外の3色で塗る。B と C, C と D, D と E, E と B が隣り合う。
・B と D が同じ色のとき：B は3通り、D は B と同じ1通り、C, E はそれぞれ残り2色から2通り。
\(3\times 1\times 2\times 2=12\)（通り）
・B と D が異なる色のとき：B は3通り、D は2通り、C, E はそれぞれ残り1色で1通り。
\(3\times 2\times 1\times 1=6\)（通り）
よって \(4\times(12+6)=72\)（通り）