数学検定準2級

500円硬貨の枚数で場合分けする。残額について100円硬貨の枚数を決めると、50円硬貨の枚数はただ1通りに決まる。

500円硬貨	残額	支払い方
0枚	1500円	16通り
1枚	1000円	11通り
2枚	500円	6通り
3枚	0円	1通り

よって、16＋11＋6＋1＝34（通り）。

目を、奇数の組 A＝{1, 3, 5}、2を1個だけ因数にもつ組 B＝{2, 6}、2を2個因数にもつ組 C＝{4} に分ける。積が8の倍数でないのは、因数2の個数の合計が2以下の場合である。

目の組の種類	場合の数
A・A・A	3³＝27
Bが1個、Aが2個	3×2×3²＝54
Cが1個、Aが2個	3×1×3²＝27
Bが2個、Aが1個	3×2²×3＝36

全体は6³＝216通りなので、216−(27＋54＋27＋36)＝72（通り）。

6の倍数となる条件は「一の位が偶数」かつ「各桁の数字の和が3の倍数」である。一の位を固定し、残る2桁を数える。下表の組は順序を区別しない。0を含む組は百の位を0にできないので1通り、それ以外は2通り。

一の位	百・十の位に使う数字の組	個数
0	{1,2}, {1,5}, {2,4}, {3,6}, {4,5}	10
2	{0,1}, {0,4}, {1,3}, {1,6}, {3,4}, {4,6}	10
4	{0,2}, {0,5}, {2,3}, {2,6}, {3,5}, {5,6}	10
6	{0,3}, {1,2}, {1,5}, {2,4}, {4,5}	9

よって、10＋10＋10＋9＝39（個）。

全体の並び方は6!＝720通り。AとBが隣り合う場合は、2人を1つのまとまりとみると5!通りで、まとまりの内部の順序が2通りある。したがって、6!−2×5!＝720−240＝480（通り）。

9人から4人を選ぶ全体から、男子だけの場合と女子だけの場合を引く。

₉C₄−₅C₄−₄C₄＝126−5−1＝120

よって120通り。委員に役職の区別はないので、選ぶ順序は数えない。

すべての並べ方は 6!3! 2!＝60通り。2個のBが隣り合う並べ方は、BBを1つのまとまりとして、A、A、A、BB、Cを並べるので 5!3!＝20通り。よって、60−20＝40（通り）。

A、Bを1つのまとまりとみると、円周上に並べるものは5個になる。この円順列は(5−1)!＝24通り。A、Bのまとまりの内部の並び方が2通りあるので、24×2＝48（通り）。

最短経路全体は、右4回・上3回の計7回の移動を並べるので ₇C₃＝35通り。Pを通る経路は、AからPまでが ₃C₁＝3通り、PからBまでが ₄C₂＝6通りで、3×6＝18通り。よって、35−18＝17（通り）。

s＝b＋c とおく。1≦a≦6なので、分数が整数になるには2≦s≦6で、aがsの倍数であればよい。

s	(b, c)の個数	aの候補	場合の数
2	1	2, 4, 6	3
3	2	3, 6	4
4	3	4	3
5	4	5	4
6	5	6	5

よって、3＋4＋3＋4＋5＝19（通り）。

3桁なので、2の個数が奇数となるのは1個または3個の場合。

① 2が1個：百の位が2なら、残りの各桁は2以外の9通りずつなので9²＝81個。十の位だけが2なら、百の位は0と2以外の8通り、一の位は2以外の9通りで8×9＝72個。一の位だけが2の場合も72個。

② 2が3個：222の1個。

よって、81＋72＋72＋1＝226（個）。