問1次のデータは、7人で行ったあるゲームの得点である。ただし、\(a\) の値は正の整数である。
52，67，45，80，73，61，\(a\) （単位は点）
\(a\) の値がわからないとき、このデータの中央値として何通りの値がありうるか。
▼解答・解説答え 7通り
\(a\) 以外の6個を小さい順に並べると 45，52，61，67，73，80
データは7個なので、中央値は小さい方から4番目の値である。
・\(a \le 61\) のとき，中央値は 61
・\(61 < a < 67\) のとき，中央値は \(a\)（\(a = 62,\ 63,\ 64,\ 65,\ 66\) の5通り）
・\(a \ge 67\) のとき，中央値は 67
よって、中央値としてありうる値は 61〜67 の 7通り
問2次のデータは、8人の生徒が1か月に読んだ本の冊数である。
12，7，15，9，20，11，6，16 （単位は冊）
このデータの平均値と中央値を求めよ。
▼解答・解説答え 平均値 12冊，中央値 11.5冊
平均値は \[ \frac{12+7+15+9+20+11+6+16}{8} = \frac{96}{8} = 12 \]
小さい順に並べると 6，7，9，11，12，15，16，20
データは8個なので、中央値は4番目と5番目の平均値 \[ \frac{11+12}{2} = 11.5 \]
問3次のデータは、11人の生徒のある週の運動時間である。
12，5，18，9，3，15，10，21，6，13，8 （単位は時間）
このデータの第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲を求めよ。
▼解答・解説答え 第1四分位数 6時間，第3四分位数 15時間，四分位範囲 9時間
小さい順に並べると 3，5，6，8，9，10，12，13，15，18，21
中央値（第2四分位数）は6番目の 10。
下位5個 3，5，6，8，9 の中央値が第1四分位数 \(Q_1 = 6\)
上位5個 12，13，15，18，21 の中央値が第3四分位数 \(Q_3 = 15\)
四分位範囲は \(Q_3 - Q_1 = 15 - 6 = 9\)
問4次のデータは、5人の生徒の小テストの得点である。
4，7，8，10，11 （単位は点）
このデータの分散と標準偏差を求めよ。
▼解答・解説答え 分散 6，標準偏差 \(\sqrt{6}\) 点
平均値は \(\dfrac{4+7+8+10+11}{5} = \dfrac{40}{5} = 8\)
各値の偏差は \(-4,\ -1,\ 0,\ 2,\ 3\)
分散は \[ \frac{(-4)^2+(-1)^2+0^2+2^2+3^2}{5} = \frac{16+1+0+4+9}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]
標準偏差は \(\sqrt{6}\)
問510個の値からなるデータ \(x\) について、\(x\) の平均値は 6、\(x^2\) の平均値は 45 である。このとき、\(x\) の分散と標準偏差を求めよ。
▼解答・解説答え 分散 9，標準偏差 3
分散は「\(x^2\) の平均値」から「\(x\) の平均値の2乗」を引いたものに等しいから \[ s^2 = \overline{x^2} - \left(\overline{x}\right)^2 = 45 - 6^2 = 9 \]
標準偏差は \(s = \sqrt{9} = 3\)
問69人の生徒の数学の得点のデータがあり、平均値は 20 点、分散は 16 である。ここに、得点が 20 点の生徒1人のデータを加えて10人のデータとした。このとき、10人のデータの平均値と分散を求めよ。
▼解答・解説答え 平均値 20点，分散 14.4
9人の合計は \(20 \times 9 = 180\) 点。20点を加えると合計 200 点なので、平均値は \[ \frac{200}{10} = 20 \]
9人の偏差の2乗の和は \(16 \times 9 = 144\)
平均値は変わらず、加えた20点の偏差は 0 なので、偏差の2乗の和は 144 のまま。よって分散は \[ \frac{144}{10} = 14.4 \]
（平均値と同じ値を加えると、平均値は変わらず、分散は小さくなる。）
問7変量 \(x\) のデータの平均値は 12、分散は 4 である。変量 \(y\) を \(y = 3x - 5\) で定めるとき、\(y\) のデータの平均値、分散、標準偏差を求めよ。
▼解答・解説答え 平均値 31，分散 36，標準偏差 6
\(y = ax + b\) のとき \[ \overline{y} = a\overline{x} + b,\quad s_y^{\,2} = a^2 s_x^{\,2},\quad s_y = |a|\,s_x \]
平均値 \(\overline{y} = 3 \times 12 - 5 = 31\)
分散 \(s_y^{\,2} = 3^2 \times 4 = 36\)
標準偏差 \(s_y = \sqrt{36} = 6\)
問8下の図は、40人の生徒の数学のテストの得点を箱ひげ図に表したものである。次の①〜④のうち、この箱ひげ図から読み取れることとして必ず正しいものをすべて選べ。
答え ①，②，③
図から 最小値 20，第1四分位数 35，中央値 45，第3四分位数 60，最大値 80
① 範囲は \(80 - 20 = 60\)（点） → 正しい
② 四分位範囲は \(60 - 35 = 25\)（点） → 正しい
③ 得点を小さい順に \(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{40}\) とすると、中央値は \(\dfrac{x_{20}+x_{21}}{2} = 45\) なので \(x_{21} \ge 45\)。
よって \(x_{21}\) 〜 \(x_{40}\) の 20 人は 45 点以上であり、45 点以上の生徒は 20 人以上いる → 正しい
④ 第3四分位数は \(\dfrac{x_{30}+x_{31}}{2} = 60\)。\(x_{31} \ge 60\) なので 60 点以上は 10 人以上いるが、\(x_{30} = 60\) の場合もありうるので「ちょうど 10 人」とは限らない → 必ず正しいとはいえない
問9次の表は、5人の生徒A〜Eの数学の小テストの得点 \(x\) と理科の小テストの得点 \(y\) である。
| 生徒 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x\)（点） | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| \(y\)（点） | 3 | 5 | 4 | 9 | 9 |
\(x\) と \(y\) の共分散と相関係数を求めよ。ただし、相関係数は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めよ。
▼解答・解説答え 共分散 6.4，相関係数 0.9
平均値は \(\overline{x} = \dfrac{30}{5} = 6,\quad \overline{y} = \dfrac{30}{5} = 6\)
| 生徒 | A | B | C | D | E | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x-\overline{x}\) | \(-4\) | \(-2\) | 0 | 2 | 4 | |
| \(y-\overline{y}\) | \(-3\) | \(-1\) | \(-2\) | 3 | 3 | |
| \((x-\overline{x})^2\) | 16 | 4 | 0 | 4 | 16 | 40 |
| \((y-\overline{y})^2\) | 9 | 1 | 4 | 9 | 9 | 32 |
| \((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) | 12 | 2 | 0 | 6 | 12 | 32 |
共分散は \(s_{xy} = \dfrac{32}{5} = 6.4\)
相関係数は \[ r = \frac{s_{xy}}{s_x\,s_y} = \frac{32}{\sqrt{40}\,\sqrt{32}} = \frac{32}{16\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \fallingdotseq 0.894 \]
小数第2位を四捨五入して 0.9
問10下の図は、ある商品の1日あたりの価格 \(x\)（百円）と販売数 \(y\)（十個）の関係を、13日分調べて散布図に表したものである。\(x\) と \(y\) の相関係数に最も近い値を、次の①〜⑤から1つ選べ。
答え ①
散布図の点は右下がりに分布しているので、負の相関がある。
さらに、点が1本の直線の近くに集まっているので、相関はかなり強い。
よって、相関係数は \(-1\) に近い値となり、最も近いのは ① \(-0.9\)
（相関係数 \(r\) は \(-1 \le r \le 1\) を満たし、\(|r|\) が 1 に近いほど直線的な関係が強い。）