\(90^\circ<\theta<180^\circ\) で，\(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\) のとき，\(\cos\theta\)，\(\tan\theta\) の値を求めなさい。
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より
\[\cos^2\theta=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\]\(90^\circ<\theta<180^\circ\) より \(\cos\theta<0\) なので \(\cos\theta=-\dfrac{4}{5}\)
\[\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{3}{5}\div\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{4}\]次の式の値を求めなさい。
\[\sin150^\circ+\cos120^\circ+\tan135^\circ\]\(\sin150^\circ=\sin30^\circ=\dfrac{1}{2}\)，\(\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\dfrac{1}{2}\)，\(\tan135^\circ=-\tan45^\circ=-1\)
\[\text{(与式)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1=-1\]\(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ\) のとき，次の等式を満たす \(\theta\) を求めなさい。
(1) \(2\sin\theta=\sqrt{3}\)
(2) \(2\cos\theta+\sqrt{2}=0\)
(1) \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。単位円で \(y\) 座標が \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) となる点は2つあるので，\(\theta=60^\circ,\ 120^\circ\)
(2) \(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)。単位円で \(x\) 座標が \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) となる点は1つで，\(\theta=135^\circ\)
\(\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{3}\) のとき，次の式の値を求めなさい。
(1) \(\sin\theta\cos\theta\)
(2) \(\sin^3\theta+\cos^3\theta\)
(1) 両辺を2乗すると
\[\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\frac{1}{9}\]\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より \(1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{9}\) よって \(\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{4}{9}\)
(2) \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を用いて
\[\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(1-\sin\theta\cos\theta)=\frac{1}{3}\times\left(1+\frac{4}{9}\right)=\frac{13}{27}\]\(\triangle\mathrm{ABC}\) において，\(a=6\)，\(A=45^\circ\)，\(B=60^\circ\) のとき，次の値を求めなさい。
(1) \(b\)
(2) \(\triangle\mathrm{ABC}\) の外接円の半径 \(R\)
(1) 正弦定理 \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\) より
\[b=\frac{a\sin B}{\sin A}=6\times\frac{\sqrt{3}}{2}\div\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{6}\](2) 正弦定理 \(\dfrac{a}{\sin A}=2R\) より
\[2R=6\div\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\qquad R=3\sqrt{2}\]右の図の \(\triangle\mathrm{ABC}\) において，\(\mathrm{AB}=5\)，\(\mathrm{CA}=3\)，\(\angle\mathrm{A}=120^\circ\) のとき，辺 \(\mathrm{BC}\) の長さを求めなさい。
余弦定理より
\[\mathrm{BC}^2=5^2+3^2-2\cdot5\cdot3\cos120^\circ=25+9-30\times\left(-\frac{1}{2}\right)=49\]\(\mathrm{BC}>0\) より \(\mathrm{BC}=7\)
\(\triangle\mathrm{ABC}\) において，\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\) のとき，\(\angle\mathrm{B}\) の大きさを求めなさい。
余弦定理より
\[\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{64+25-49}{2\cdot8\cdot5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}\]\(0^\circ
問7の \(\triangle\mathrm{ABC}\)（\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)）について，次の値を求めなさい。
(1) \(\triangle\mathrm{ABC}\) の面積 \(S\)
(2) \(\triangle\mathrm{ABC}\) の内接円の半径 \(r\)
(1) 問7より \(B=60^\circ\) なので
\[S=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\](2) \(S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)\) より
\[10\sqrt{3}=\frac{1}{2}r(5+7+8)=10r\qquad r=\sqrt{3}\]水平な地面に垂直に立つ塔 \(\mathrm{TH}\) がある。地点 \(\mathrm{A}\) から塔の頂上 \(\mathrm{T}\) を見上げた角は \(30^\circ\) であった。塔に向かって \(20\,\mathrm{m}\) 進んだ地点 \(\mathrm{B}\) から \(\mathrm{T}\) を見上げた角は \(45^\circ\) であった。塔の高さ \(\mathrm{TH}\) を求めなさい。ただし，3点 \(\mathrm{A}\)，\(\mathrm{B}\)，\(\mathrm{H}\) は一直線上にあり，目の高さは考えないものとする。
\(\mathrm{TH}=h\) とおく。
\(\triangle\mathrm{TBH}\) は直角二等辺三角形なので \(\mathrm{BH}=h\)
\(\triangle\mathrm{TAH}\) で \(\tan30^\circ=\dfrac{h}{\mathrm{AH}}\) より \(\mathrm{AH}=\dfrac{h}{\tan30^\circ}=\sqrt{3}\,h\)
\(\mathrm{AH}-\mathrm{BH}=20\) より
\[\sqrt{3}\,h-h=20\qquad h=\frac{20}{\sqrt{3}-1}=\frac{20(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=10(\sqrt{3}+1)\]円に内接する四角形 \(\mathrm{ABCD}\) において，\(\mathrm{AB}=2\)，\(\mathrm{BC}=3\)，\(\mathrm{CD}=1\)，\(\angle\mathrm{ABC}=60^\circ\) である。次の値を求めなさい。
(1) 対角線 \(\mathrm{AC}\) の長さ
(2) 辺 \(\mathrm{DA}\) の長さ
(3) 四角形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積 \(S\)
(1) \(\triangle\mathrm{ABC}\) で余弦定理より
\[\mathrm{AC}^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos60^\circ=4+9-6=7\qquad \mathrm{AC}=\sqrt{7}\](2) 円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) なので \(\angle\mathrm{ADC}=180^\circ-60^\circ=120^\circ\)
\(\mathrm{DA}=x\) とおき，\(\triangle\mathrm{ACD}\) で余弦定理より
\[7=x^2+1^2-2\cdot x\cdot1\cdot\cos120^\circ=x^2+x+1\] \[x^2+x-6=0\qquad (x+3)(x-2)=0\]\(x>0\) より \(\mathrm{DA}=2\)
(3) \(\sin120^\circ=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) より
\[S=\triangle\mathrm{ABC}+\triangle\mathrm{ACD}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\]