数学検定準2級

角の二等分線の定理より、BD : DC = 10 : 8 = 5 : 4。したがって、BD = 203。

△ABCで余弦定理を用いると、

cos B = 10² + 12² − 8²2 × 10 × 12 = 34

Dは辺BC上にあるので、∠ABD = ∠ABC。△ABDで余弦定理を用いて、

AD² = 10² + (203)² − 2 × 10 × 203 × 34 = 4009

AD > 0 より、AD = 203。

正弦定理より、a : b : c = √7 : 2 : 1。最大の辺はaなので、最大の内角は∠Aである。

比例定数をk（k > 0）として余弦定理を用いると、

cos A = (2k)² + k² − (√7k)²2 × 2k × k = −12

0° < A < 180° より、A = 120°。

a = x² − 4、b = 4x + 4、c = x² + 2x + 4 とおく。

c − a = 2x + 8 > 0、c − b = x(x − 2) > 0 より、cが最大である。また、a + b − c = 2(x − 2) > 0 なので三角形が成立する。

展開して整理すると、

a² + b² − c² = −4(x − 2)(x + 2)(x + 1)

2ab = 8(x − 2)(x + 2)(x + 1)

したがって、余弦定理より cos C = a² + b² − c²2ab = −12。最大の内角は120°である。

角Bをはさむ2辺はaとcである。三角形の面積の公式より、

S = 12ac sin B = 12 × 4 × 3√2 × √22 = 6

余弦定理より、

cos A = 2² + 1² − (√7)²2 × 2 × 1 = −12

よって A = 120°、sin A = √32。正弦定理より、

2R = asin A = 2√7√3

R = √7√3 = √213

余弦定理より、

cos C = 5² + 7² − 8²2 × 5 × 7 = 17

0° < C < 180° なので sin C > 0。したがって、

sin C = √1 − cos² C = 4√37

S = 12ab sin C = 12 × 5 × 7 × 4√37 = 10√3

正弦定理より、

sin B = b sin Aa = 4√2 × 124 = √22

0° < B < 180° の範囲では B = 45° または135°。

B = 45° のとき C = 105°、B = 135° のとき C = 15°で、どちらも三角形が成立する。よって、両方が答えとなる。

正弦定理より、

b = a sin Bsin A = 6 × √32√22 = 3√6

余弦定理 a² = b² + c² − 2bc cos A に代入すると、

36 = 54 + c² − 6√3c

c² − 6√3c + 18 = 0

解の公式より、c = 3√3 ± 3。ここで C = 75° > A = 45° より c > a = 6 なので、

c = 3√3 + 3 = 3(√3 + 1)。

円に内接する四角形の対角の和は180°なので、D = 180° − B、cos D = −cos B。対角線ACについて余弦定理を用いると、

AC² = 3² + 4² − 2 × 3 × 4 cos B = 25 − 24 cos B

AC² = 6² + 5² − 2 × 6 × 5 cos D = 61 + 60 cos B

両式より −84 cos B = 36、したがって cos B = −37。

sin B = √1 − 949 = 2√107

また sin D = sin B なので、2つの三角形の面積を加えて、

S = 12(3 × 4 + 6 × 5) sin B = 21 × 2√107 = 6√10

6² + 8² = 10² より、△ABCは∠B = 90°の直角三角形である。面積は S = 12 × 6 × 8 = 24。

内心と3頂点を結んでできる3つの三角形の高さは、いずれもrなので、

24 = 12r(6 + 8 + 10) = 12r

よって r = 2。直角三角形の外接円の直径は斜辺CAに等しいので、R = 102 = 5。