数学検定準2級

解説：平方完成すると \[y=2(x^2-4x)+5=2\{(x-2)^2-4\}+5=2(x-2)^2-3\] よって、頂点は \((2,\,-3)\)、軸は直線 \(x=2\) です。

解説：\(y=(x-2)^2-3\) より、軸は \(x=2\) で、定義域 \(0\leqq x\leqq 5\) に含まれます。
頂点で最小となり、最小値は \(-3\)（\(x=2\)）。
軸から遠い端点ほど \(y\) は大きくなります。軸からの距離は \(x=0\) が \(2\)、\(x=5\) が \(3\) なので、\(x=5\) で最大となり \[y=5^2-4\cdot5+1=6\]

解説：\(y=(x+1)^2-4\) より、もとの頂点は \((-1,\,-4)\)。
平行移動後の頂点は \((-1+3,\ -4-2)=(2,\,-6)\)。\(x^2\) の係数は変わらないので \[y=(x-2)^2-6=x^2-4x-2\] （別解：\(x\) を \(x-3\)、\(y\) を \(y+2\) に置きかえて \(y+2=(x-3)^2+2(x-3)-3\) としても同じ結果になります。）

解説：求める2次関数を \(y=ax^2+bx+c\) とおくと \[\begin{cases} a-b+c=6 & \cdots\text{①}\\ a+b+c=0 & \cdots\text{②}\\ 4a+2b+c=3 & \cdots\text{③}\end{cases}\] ②−① より \(2b=-6\)、\(b=-3\)。このとき ② より \(a+c=3\)、③ より \(4a+c=9\)。
これを解いて \(a=2,\ c=1\)。よって \(y=2x^2-3x+1\) です。

解説：頂点が \((1,\,-2)\) なので \(y=a(x-1)^2-2\) とおけます。
点 \((3,\,6)\) を通るから \(6=a(3-1)^2-2\)、すなわち \(4a=8\)、\(a=2\)。 \[y=2(x-1)^2-2=2x^2-4x\]

解説： (1) グラフが上に凸なので \(a<0\)。
(2) 軸 \(x=-\dfrac{b}{2a}\) が \(y\) 軸より右側にあるので \(-\dfrac{b}{2a}>0\)。\(a<0\) より \(b>0\)。
(3) \(y\) 軸との交点の \(y\) 座標が \(c\) で、原点より上にあるので \(c>0\)。
(4) グラフが \(x\) 軸と異なる 2 点で交わっているので、判別式 \(b^2-4ac>0\)。

解説：2次方程式 \(x^2-6x+k=0\) が異なる 2 つの実数解をもてばよいので、判別式 \(D\) について \(D>0\)。 \[\frac{D}{4}=(-3)^2-1\cdot k=9-k>0\] よって \(k<9\)。

解説： (1) \((x+2)(x-3)<0\)。グラフが \(x\) 軸より下にある範囲なので \(-2<x<3\)。
(2) \((x+2)(2x-1)\geqq 0\)。グラフが \(x\) 軸より上（\(x\) 軸を含む）にある範囲なので \(x\leqq -2,\ \dfrac{1}{2}\leqq x\)。

解説：平方完成すると \[y=-(x^2-2x)+c=-(x-1)^2+1+c\] 上に凸なので \(x=1\) のとき最大値 \(1+c\) をとります。
\(1+c=5\) より \(c=4\)。

解説：壁に平行な辺の長さは \((40-2x)\,\text{m}\) です。辺の長さは正なので \(0<x<20\)。
面積を \(S\,\text{m}^2\) とすると \[S=x(40-2x)=-2x^2+40x=-2(x-10)^2+200\] \(x=10\) は \(0<x<20\) に含まれるので、\(x=10\) のとき \(S\) は最大値 \(200\) をとります。
（このとき壁に平行な辺は \(20\,\text{m}\) です。）