数学検定準2級
【高校数学Ⅰ】２次関数
全10問・番号と順番は固定です。各問の▼をクリックすると解答・解説を表示します。
問1
関数 y=x2−2tx+t2−2t の 0≦x≦2 における最小値が20となるような、正の定数 t の値を求めなさい。
解答・解説
y=(x−t)2−2t と平方完成すると、軸は x=t です。
① 0<t≦2 のとき、最小値は頂点での −2t です。これは負なので20にはなりません。
② t>2 のとき、区間内では減少するので、x=2 で最小になります。
t2−6t+4=20 より、t2−6t−16=(t−8)(t+2)=0。t>2 を満たすのは t=8 です。
問2
実数 x, y が x+2y=4 を満たすとき、2x2+y2 の最小値を求めなさい。
解答・解説
x=4−2y を代入して、１つの文字の２次式にします。
2x2+y2=2(4−2y)2+y2=9y2−32y+32。
平方完成すると、9(y − 169)2 + 329 です。
２乗の項は0以上なので、最小値は 329。このとき x = 49, y = 169 です。
問3
２次関数 y=2x2−(a−2)x+b が、x=2 で最小値−3をとるとき、定数 a, b の値を求めなさい。
解答・解説
頂点は (2, −3) なので、この関数は y=2(x−2)2−3 と表せます。
展開すると y=2x2−8x+5。係数を比べると、−(a−2)=−8、b=5 です。
したがって、a=10, b=5 となります。
問4
２次関数 y=x2−ax の 1≦x≦5 における最大値と最小値の差が6となるとき、実数の定数 a の値をすべて求めなさい。
解答・解説
軸の位置を h = a2 とおくと、y=(x−h)2−h2 です。定数項は最大値と最小値の差に影響しません。
① h≦1 なら差は (5−h)2−(1−h)2=24−8h≧16。② h≧5 なら差は (1−h)2−(5−h)2=8h−24≧16。どちらも6にはなりません。
③ 1<h≦3 では、最小値は頂点、最大値は x=5 でとるので、(5−h)2=6。よって h=5−√6。これはこの範囲に入ります。
④ 3<h<5 では、最大値を x=1 でとるので、(h−1)2=6。よって h=1+√6。これもこの範囲に入ります。
a=2h より、a=10−2√6, 2+2√6 です。
問5
２次方程式 x2−6x+a+7=0 の解の１つが x=a+1 であるとき、定数 a の値をすべて求めなさい。
解答・解説
解を方程式に代入すると、(a+1)2−6(a+1)+a+7=0。
整理して a2−3a+2=0、すなわち (a−1)(a−2)=0。
よって a=1, 2。実際に a=1 では x=2、a=2 では x=3 がそれぞれ解になります。
問6
関数 y=−x2+2ax の 0≦x≦2 における最大値が3となるような、実数の定数 a の値を求めなさい。
解答・解説
y=−(x−a)2+a2 と変形できます。軸は x=a です。
① a<0 では、最大値は x=0 での0なので不適です。
② 0≦a≦2 では、最大値は頂点での a2。a2=3 より、この範囲にあるのは a=√3 です。
③ a>2 では、最大値は x=2 での 4a−4。これを3とすると a = 74 となり、a>2 に反します。
したがって a=√3 です。
問7
実数 x, y が x+y=6 を満たすとき、x2+2y2 の最小値と、そのときの x, y の値を求めなさい。
解答・解説
y=6−x を代入すると、x2+2y2=x2+2(6−x)2。
=3x2−24x+72=3(x−4)2+24 と平方完成できます。
したがって x=4 のとき最小値24をとります。このとき y=6−4=2 です。
問8
２次関数 y=3x2+6ax+b が、x=−2 で最小値−4をとるとき、定数 a, b の値を求めなさい。
解答・解説
頂点が (−2, −4) であることから、y=3(x+2)2−4 です。
展開すると y=3x2+12x+8。係数を比較して 6a=12, b=8。
よって a=2, b=8 です。
問9
２次関数 y=x2−2ax の −1≦x≦3 における最大値と最小値の差が9となるとき、実数の定数 a の値をすべて求めなさい。
解答・解説
y=(x−a)2−a2 で、軸は x=a です。区間の中央は x=1 です。
① a≦−1 では差は (3−a)2−(−1−a)2=8−8a≧16。② a≧3 では差は (−1−a)2−(3−a)2=8a−8≧16。どちらも不適です。
③ −1<a≦1 では、頂点で最小、x=3 で最大となるので、(3−a)2=9。この範囲にある解は a=0 です。
④ 1<a<3 では、頂点で最小、x=−1 で最大となるので、(a+1)2=9。この範囲にある解は a=2 です。
したがって、a=0, 2 となります。
問10
２次方程式 x2−(a+3)x+2a=0 の解の１つが x=a−1 であるとき、定数 a の値と、もう１つの解を求めなさい。
解答・解説
x=a−1 を代入すると、(a−1)2−(a+3)(a−1)+2a=0。
展開・整理して −2a+4=0 より、a=2 です。
元の方程式は x2−5x+4=(x−1)(x−4)=0。与えられた解は x=a−1=1 なので、もう１つの解は x=4 です。