答え \( x^2+4xy+4y^2-9 \)
解説 \( x+2y=A \) とおくと
\[ (A-3)(A+3)=A^2-9=(x+2y)^2-9=x^2+4xy+4y^2-9 \]答え \( (x+2y-3)(x-y+2) \)
解説 \( x \) について整理すると
\[ x^2+(y-1)x-(2y^2-7y+6) \]定数項は \( 2y^2-7y+6=(2y-3)(y-2) \) と因数分解できるので
\[ x^2+(y-1)x-(2y-3)(y-2) \]和が \( y-1 \)、積が \( -(2y-3)(y-2) \) となる2式は \( 2y-3 \) と \( -(y-2) \) だから
\[ \{x+(2y-3)\}\{x-(y-2)\}=(x+2y-3)(x-y+2) \]答え \( (x^2+x+1)(x^2-x+1) \)
解説 \( x^2 \) を加えて引き、\( A^2-B^2 \) の形をつくります。
\[ \begin{aligned} x^4+x^2+1 &= (x^4+2x^2+1)-x^2 \\ &= (x^2+1)^2-x^2 \\ &= (x^2+1+x)(x^2+1-x) \\ &= (x^2+x+1)(x^2-x+1) \end{aligned} \]答え \( 5+2\sqrt{6} \)
解説 分母・分子に \( \sqrt{3}+\sqrt{2} \) を掛けます。
\[ \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} =\frac{3+2\sqrt{6}+2}{3-2}=5+2\sqrt{6} \](1) \( x^2+y^2 \) (2) \( \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y} \)
答え (1) \( 10 \) (2) \( 10 \)
解説 まず和と積を求めます。
\[ x+y=2\sqrt{3},\qquad xy=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=1 \](1) \( x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=12-2=10 \)
(2) \( \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{10}{1}=10 \)
(1) \( x^2+\dfrac{1}{x^2} \) (2) \( x^3+\dfrac{1}{x^3} \)
答え (1) \( 14 \) (2) \( 52 \)
解説
(1) \( x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}=16-2=14 \)
(2) \( x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=64-12=52 \)
(1) \( a,\ b \) の値を求めなさい。
(2) \( b^2+b \) の値を求めなさい。
答え (1) \( a=2,\ b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \) (2) \( 1 \)
解説
(1) 分母を有理化すると
\[ \frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5}=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \]\( 2<\sqrt{5}<3 \) より \( 5<3+\sqrt{5}<6 \)、よって \( 2.5<\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}<3 \) だから \( a=2 \)。
\[ b=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \](2) \( b^2=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \) だから
\[ b^2+b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{2}{2}=1 \](1) \( \sqrt{7-2\sqrt{10}} \) (2) \( \sqrt{4+\sqrt{15}} \)
答え (1) \( \sqrt{5}-\sqrt{2} \) (2) \( \dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2} \)
解説 \( a>b>0 \) のとき \( \sqrt{(a+b)\pm2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b} \) を利用します。
(1) 和が \( 7 \)、積が \( 10 \) の2数は \( 5,\ 2 \) なので
\[ \sqrt{7-2\sqrt{10}}=\sqrt{5}-\sqrt{2} \](2) 中の根号の前を \( 2 \) にするため、分母・分子を \( 2 \) 倍します。
\[ \sqrt{4+\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2} \]答え \( -3 解説 上の式：\( 2x>-6 \) より \( x>-3 \) 下の式：\( 2x-2\geqq 5x-11 \) より \( -3x\geqq -9 \)、よって \( x\leqq 3 \) 共通部分は \( -3 整数は \( -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \) の \( 6 \) 個です。
答え \( x=\dfrac{1}{3} \)
解説 絶対値の中の符号で場合分けします。
| \( x \) の範囲 | \( |x-2| \) |
|---|---|
| \( x\geqq 2 \) | \( x-2 \) |
| \( x<2 \) | \( -(x-2) \) |
[1] \( x\geqq 2 \) のとき \( x-2=2x+1 \) より \( x=-3 \)。これは \( x\geqq 2 \) を満たさないので不適。
[2] \( x<2 \) のとき \( -(x-2)=2x+1 \) より \( -3x=-1 \)、\( x=\dfrac{1}{3} \)。これは \( x<2 \) を満たす。
よって \( x=\dfrac{1}{3} \)