数学検定準2級

【高校数学Ⅰ】数と式

全10問 ／ ▼をクリックすると解答・解説を表示します。

問題 1

次の式を展開し、同類項をまとめなさい。(2x − 3y)2 − (x + y)(x − y)
解答・解説
解答：3x2 − 12xy + 10y2
解説
平方の公式と和と差の積の公式を使います。(2x − 3y)2 = 4x2 − 12xy + 9y2
(x + y)(x − y) = x2 − y2
後ろの式全体を引くので、4x2 − 12xy + 9y2 − x2 + y2 = 3x2 − 12xy + 10y2 となります。

問題 2

次の式を因数分解しなさい。6x2 − 7x − 3
解答・解説
解答：(3x + 1)(2x − 3)
解説
積が 6 × (−3) = −18、和が −7 となる2数は −9 と 2 です。
6x2 − 9x + 2x − 3
= 3x(2x − 3) + (2x − 3)
= (3x + 1)(2x − 3)

問題 3

次の式を因数分解しなさい。x2 + 6xy + 9y2 − 16
解答・解説
解答：(x + 3y − 4)(x + 3y + 4)
解説
はじめの3項を平方の形にまとめます。
x2 + 6xy + 9y2 − 16 = (x + 3y)2 − 42
a2 − b2 = (a − b)(a + b) を使うと、(x + 3y − 4)(x + 3y + 4) となります。

問題 4

次の式を簡単にしなさい。√48 − 2√27 + √75
解答・解説
解答：3√3
解説
根号の中から平方数を取り出します。
√48 = 4√3、√27 = 3√3、√75 = 5√3
したがって、4√3 − 6√3 + 5√3 = 3√3 です。

問題 5

次の式の分母を有理化し、簡単にしなさい。
4√7 − √3
解答・解説
解答：√7 + √3
解説
分母と分子に √7 + √3 をかけます。
4(√7 + √3)(√7 − √3)(√7 + √3) = 4(√7 + √3)7 − 3 = √7 + √3

問題 6

x = 2 + √3、y = 2 − √3 のとき、x2 + y2 の値を求めなさい。
解答・解説
解答：14
解説
まず和と積を求めます。
x + y = 4、xy = (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 3 = 1
x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = 42 − 2 × 1 = 14

問題 7

次の不等式を解きなさい。
2x − 13 − x + 22 > 1
解答・解説
解答：x > 14
解説
両辺に正の数 6 をかけます。不等号の向きは変わりません。
2(2x − 1) − 3(x + 2) > 6
4x − 2 − 3x − 6 > 6
x − 8 > 6 より、x > 14 です。

問題 8

次の連立不等式を解きなさい。
3x − 5 ≦ 2x + 4
2(x + 1) > 5x − 7
解答・解説
解答：x < 3
解説
1つ目の不等式から x ≦ 9。
2つ目は 2x + 2 > 5x − 7 より −3x > −9。負の数 −3 で割ると不等号の向きが変わり、x < 3 です。
両方を満たす範囲は x < 3 となります。

問題 9

次の不等式を解きなさい。|2x − 3| ≦ 5
解答・解説
解答：−1 ≦ x ≦ 4
解説
絶対値が5以下なので、−5 ≦ 2x − 3 ≦ 5 と表せます。
各辺に3を加えると −2 ≦ 2x ≦ 8。
各辺を2で割って、−1 ≦ x ≦ 4 です。

問題 10

√13 の整数部分を a、小数部分を b とする。b2 + 6b − a の値を求めなさい。
解答・解説
解答：1
解説
3 < √13 < 4 なので、a = 3、b = √13 − 3 です。
b + 3 = √13 の両辺を2乗すると b2 + 6b + 9 = 13。
よって b2 + 6b = 4 なので、b2 + 6b − a = 4 − 3 = 1 です。