数学検定準1級
【高校数学 Ⅲ】 微分法
問1
関数 \(f(x)=x^{x}\ \ (x>0)\) について，次の問いに答えなさい。
(1) 導関数 \(f'(x)\) を求めなさい。
(2) \(f(x)\) の最小値と，そのときの \(x\) の値を求めなさい。
▼解答・解説
答え
(1) \(f'(x)=x^{x}(\log x+1)\)
(2) \(x=\dfrac{1}{e}\) のとき 最小値 \(e^{-\frac{1}{e}}\)
解説
(1) \(x>0\) で \(f(x)>0\) なので，両辺の自然対数をとると \(\log f(x)=x\log x\)。両辺を \(x\) で微分して
\[ \frac{f'(x)}{f(x)}=\log x+x\cdot\frac{1}{x}=\log x+1 \qquad\therefore\ f'(x)=x^{x}(\log x+1) \]
(2) \(x^{x}>0\) より，\(f'(x)\) の符号は \(\log x+1\) の符号と一致し，\(f'(x)=0\) となるのは \(x=\dfrac{1}{e}\) のとき。
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\dfrac{1}{e}\) | \(\cdots\) |
|---|
| \(f'(x)\) | | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
|---|
| \(f(x)\) | | \(\searrow\) | \(e^{-\frac{1}{e}}\) | \(\nearrow\) |
|---|
よって最小値は \(f\!\left(\dfrac{1}{e}\right)=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}=e^{-\frac{1}{e}}\)
問2
媒介変数 \(t\) を用いて \(x=t-\sin t,\ \ y=1-\cos t\ \ (0<t<2\pi)\) と表される曲線（サイクロイド）について，次の問いに答えなさい。
(1) \(\dfrac{dy}{dx}\) を \(t\) の式で表しなさい。
(2) \(t=\dfrac{\pi}{2}\) に対応する点における \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\) の値を求めなさい。
▼解答・解説
答え
(1) \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}\) (2) \(-1\)
解説
(1) \(\dfrac{dx}{dt}=1-\cos t,\ \ \dfrac{dy}{dt}=\sin t\)。\(0<t<2\pi\) では \(1-\cos t\neq 0\) なので
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\sin t}{1-\cos t} \]
(2) \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}\) を用いる。
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t}{(1-\cos t)^{2}}=\frac{\cos t-1}{(1-\cos t)^{2}}=-\frac{1}{1-\cos t} \]
\[ \therefore\ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\frac{1}{(1-\cos t)^{2}} \]
\(t=\dfrac{\pi}{2}\) を代入すると \(\cos\dfrac{\pi}{2}=0\) より \(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-1\)
問3
曲線 \(x^{3}+y^{3}=3xy\)（デカルトの正葉線）について，次の問いに答えなさい。
(1) 曲線上の点 \(\left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2}\right)\) における接線の方程式を求めなさい。
(2) 原点以外で，接線の傾きが \(0\) となる曲線上の点の座標を求めなさい。
▼解答・解説
答え
(1) \(x+y=3\) (2) \(\left(\sqrt[3]{2},\ \sqrt[3]{4}\right)\)
解説
両辺を \(x\) で微分すると \(3x^{2}+3y^{2}y'=3y+3xy'\) より
\[ (y^{2}-x)\,y'=y-x^{2}\qquad\therefore\ y'=\frac{y-x^{2}}{y^{2}-x}\quad (y^{2}\neq x) \]
(1) \(x=y=\dfrac{3}{2}\) を代入すると \(y'=\dfrac{\frac{3}{2}-\frac{9}{4}}{\frac{9}{4}-\frac{3}{2}}=\dfrac{-\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}=-1\)。
接線は \(y-\dfrac{3}{2}=-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\)，すなわち \(x+y=3\)
(2) \(y'=0\) より \(y=x^{2}\)。これを曲線の式に代入して \(x^{3}+x^{6}=3x^{3}\)，すなわち \(x^{3}(x^{3}-2)=0\)。
原点以外なので \(x^{3}=2\)，\(x=\sqrt[3]{2}\)，\(y=x^{2}=\sqrt[3]{4}\)。
このとき \(y^{2}-x=\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2}\neq 0\) なので条件を満たす。
問4
次の問いに答えなさい。
(1) \(f(x)=e^{x}\sin x\) のとき，極限値 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(2h)-f(-h)}{h}\) を求めなさい。
(2) \(f(x)=x^{3}+x+1\) の逆関数を \(g(x)\) とするとき，\(g'(3)\) の値を求めなさい。
▼解答・解説
答え
(1) \(3\) (2) \(\dfrac{1}{4}\)
解説
(1) 微分係数の定義が使える形に変形する。
\[ \frac{f(2h)-f(-h)}{h}=2\cdot\frac{f(2h)-f(0)}{2h}+\frac{f(-h)-f(0)}{-h}\ \longrightarrow\ 2f'(0)+f'(0)=3f'(0)\quad(h\to 0) \]
\(f'(x)=e^{x}(\sin x+\cos x)\) より \(f'(0)=1\)。よって求める極限値は \(3\)
(2) \(f'(x)=3x^{2}+1>0\) より \(f\) は単調増加で逆関数をもつ。\(f(1)=3\) より \(g(3)=1\)。
\[ g'(3)=\frac{1}{f'(g(3))}=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{4} \]
問5
関数 \(f(x)=x^{2}e^{x}\) について，次の問いに答えなさい。ただし，\(n\) は自然数とします。
(1) 第 \(n\) 次導関数 \(f^{(n)}(x)\) を求めなさい。
(2) \(f^{(10)}(0)\) の値を求めなさい。
▼解答・解説
答え
(1) \(f^{(n)}(x)=\{x^{2}+2nx+n(n-1)\}e^{x}\) (2) \(90\)
解説
(1) \(f'(x)=(x^{2}+2x)e^{x},\ \ f''(x)=(x^{2}+4x+2)e^{x},\ \ f'''(x)=(x^{2}+6x+6)e^{x}\) から
\[ f^{(n)}(x)=\{x^{2}+2nx+n(n-1)\}e^{x}\quad\cdots\ (*) \]
と推測し，数学的帰納法で示す。\(n=1\) のとき \(x^{2}+2x+0\) で成り立つ。\(n=k\) で成り立つと仮定すると
\[ f^{(k+1)}(x)=\{2x+2k\}e^{x}+\{x^{2}+2kx+k(k-1)\}e^{x}=\{x^{2}+2(k+1)x+(k+1)k\}e^{x} \]
となり，\(n=k+1\) でも成り立つ。よってすべての自然数 \(n\) で \((*)\) が成り立つ。
（ライプニッツの公式 \((uv)^{(n)}=\sum_{r=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{r}\,u^{(r)}v^{(n-r)}\) を用いてもよい。）
(2) \(f^{(10)}(0)=10\cdot 9=90\)
問6
関数 \(f(x)=\dfrac{\log x}{x}\ \ (x>0)\) について，次の問いに答えなさい。
(1) \(f(x)\) の極値を求めなさい。
(2) 曲線 \(y=f(x)\) の変曲点の座標を求めなさい。
(3) (1)の結果を用いて，\(e^{\pi}\) と \(\pi^{e}\) の大小を比較しなさい。
▼解答・解説
答え
(1) \(x=e\) のとき 極大値 \(\dfrac{1}{e}\)（極小値はなし）
(2) \(\left(e\sqrt{e},\ \dfrac{3}{2e\sqrt{e}}\right)\)
(3) \(e^{\pi}>\pi^{e}\)
解説
\[ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x}{x^{2}}=\frac{1-\log x}{x^{2}},\qquad f''(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^{2}-(1-\log x)\cdot 2x}{x^{4}}=\frac{2\log x-3}{x^{3}} \]
\(f'(x)=0\) となるのは \(x=e\)，\(f''(x)=0\) となるのは \(x=e^{\frac{3}{2}}=e\sqrt{e}\)。
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(e\) | \(\cdots\) | \(e\sqrt{e}\) | \(\cdots\) |
|---|
| \(f'(x)\) | | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
|---|
| \(f''(x)\) | | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
|---|
| \(f(x)\) | | \(\nearrow\)
上に凸 | \(\dfrac{1}{e}\) | \(\searrow\)
上に凸 | \(\dfrac{3}{2e\sqrt{e}}\) | \(\searrow\)
下に凸 |
|---|
また \(\displaystyle\lim_{x\to +0}f(x)=-\infty,\ \ \lim_{x\to\infty}f(x)=0\)。
(3) \(f(x)\) は \(x\geqq e\) で単調減少であり，\(e<\pi\) だから \(f(e)>f(\pi)\)：
\[ \frac{\log e}{e}>\frac{\log\pi}{\pi}\iff \pi\log e>e\log\pi\iff \log e^{\pi}>\log\pi^{e}\iff e^{\pi}>\pi^{e} \]
問7
\(k\) を実数の定数とするとき，\(x\) の方程式 \(e^{x}=kx\) の異なる実数解の個数を調べなさい。
▼解答・解説
答え
\(k<0\) のとき 1個，\(0\leqq k<e\) のとき 0個，\(k=e\) のとき 1個，\(k>e\) のとき 2個
解説
\(x=0\) は解ではないので，方程式は \(\dfrac{e^{x}}{x}=k\) と同値。曲線 \(y=g(x)=\dfrac{e^{x}}{x}\) と直線 \(y=k\) の共有点の個数を調べる。
\[ g'(x)=\frac{e^{x}\cdot x-e^{x}}{x^{2}}=\frac{(x-1)e^{x}}{x^{2}} \]
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
|---|
| \(g'(x)\) | | \(-\) | ／ | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
|---|
| \(g(x)\) | \((0)\) | \(\searrow\) | ／ | \(\searrow\) | \(e\) | \(\nearrow\) | \((\infty)\) |
|---|
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=0,\ \lim_{x\to-0}g(x)=-\infty,\ \lim_{x\to+0}g(x)=\infty,\ \lim_{x\to\infty}g(x)=\infty\)。
グラフより，\(x<0\) の部分は値域 \(g(x)<0\)，\(x>0\) の部分は最小値 \(e\) をとる。したがって
・\(k<0\)：\(x<0\) の部分と1点で交わる → 1個
・\(0\leqq k<e\)：共有点なし → 0個
・\(k=e\)：点 \((1,e)\) で接する → 1個
・\(k>e\)：\(x>0\) の部分と2点で交わる → 2個
問8
半径 \(1\) の球に内接する直円錐（頂点と底面の円周がすべて球面上にある円錐）の体積 \(V\) の最大値と，そのときの円錐の高さ \(h\) を求めなさい。
▼解答・解説
答え
\(h=\dfrac{4}{3}\) のとき 最大値 \(V=\dfrac{32}{81}\pi\)
解説
円錐の高さを \(h\ (0<h<2)\)，底面の半径を \(r\) とする。球の中心 O から底面までの距離は \(|h-1|\) なので，三平方の定理より
\[ r^{2}=1-(h-1)^{2}=2h-h^{2} \]
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi}{3}(2h^{2}-h^{3}),\qquad \frac{dV}{dh}=\frac{\pi}{3}(4h-3h^{2})=\frac{\pi}{3}h(4-3h) \]
| \(h\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\dfrac{4}{3}\) | \(\cdots\) | \(2\) |
|---|
| \(V'\) | | \(+\) | \(0\) | \(-\) | |
|---|
| \(V\) | | \(\nearrow\) | 極大 | \(\searrow\) | |
|---|
\[ V\!\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{\pi}{3}\left(2\cdot\frac{16}{9}-\frac{64}{27}\right)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{32}{27}=\frac{32}{81}\pi \]
問9
平均値の定理について，次の問いに答えなさい。
(1) 関数 \(f(x)=\log x\) と区間 \([\,1,\ e\,]\) について，平均値の定理 \(\dfrac{f(e)-f(1)}{e-1}=f'(c)\) を満たす \(c\ (1<c<e)\) の値を求めなさい。
(2) 平均値の定理を用いて，極限値 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-e^{\sin x}}{x-\sin x}\) を求めなさい。
▼解答・解説
答え
(1) \(c=e-1\) (2) \(1\)
解説
(1) \(\dfrac{\log e-\log 1}{e-1}=\dfrac{1}{e-1}\)，\(f'(c)=\dfrac{1}{c}\) より \(c=e-1\)。（\(1<e-1\fallingdotseq 1.718<e\) を満たす）
(2) \(x\neq 0\) で \(|x|\) が十分小さいとき \(\sin x\neq x\)。関数 \(e^{t}\) に \(\sin x\) と \(x\) を両端とする区間で平均値の定理を用いると
\[ \frac{e^{x}-e^{\sin x}}{x-\sin x}=e^{c}\qquad (c\ \text{は}\ \sin x\ \text{と}\ x\ \text{の間の数}) \]
を満たす \(c\) が存在する。\(x\to 0\) のとき \(\sin x\to 0\) なので，はさみうちの原理により \(c\to 0\)。
\[ \therefore\ \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-e^{\sin x}}{x-\sin x}=\lim e^{c}=e^{0}=1 \]
問10
座標平面上を運動する点 P の時刻 \(t\) における座標が \(x=e^{t}\cos t,\ \ y=e^{t}\sin t\) で表されるとき，次の問いに答えなさい。
(1) 時刻 \(t\) における点 P の速さ \(|\vec{v}|\) を求めなさい。
(2) 時刻 \(t\) における点 P の加速度の大きさ \(|\vec{\alpha}|\) を求めなさい。
(3) 位置ベクトル \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) と速度ベクトル \(\vec{v}\) のなす角 \(\theta\ (0\leqq\theta\leqq\pi)\) を求めなさい。
▼解答・解説
答え
(1) \(\sqrt{2}\,e^{t}\) (2) \(2e^{t}\) (3) \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\)（時刻によらず一定）
解説
(1) \(\dfrac{dx}{dt}=e^{t}(\cos t-\sin t),\ \ \dfrac{dy}{dt}=e^{t}(\sin t+\cos t)\)
\[ |\vec{v}|^{2}=e^{2t}\{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}\}=2e^{2t}\qquad\therefore\ |\vec{v}|=\sqrt{2}\,e^{t} \]
(2) \(\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=e^{t}(\cos t-\sin t)+e^{t}(-\sin t-\cos t)=-2e^{t}\sin t\)
\(\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=e^{t}(\sin t+\cos t)+e^{t}(\cos t-\sin t)=2e^{t}\cos t\)
\[ |\vec{\alpha}|=\sqrt{4e^{2t}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}=2e^{t} \]
(3) \(|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=e^{t}\)，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec{v}=e^{2t}\{\cos t(\cos t-\sin t)+\sin t(\sin t+\cos t)\}=e^{2t} \]
\[ \cos\theta=\frac{e^{2t}}{e^{t}\cdot\sqrt{2}\,e^{t}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\qquad\therefore\ \theta=\frac{\pi}{4} \]
（点 P の描く曲線は等角らせん（対数らせん）であり，動径と接線のなす角が常に一定であることがわかる。）