数学検定準1級

【高校数学 Ⅲ】極限

全10問｜オリジナル練習問題

No.1無限級数の和
次の無限級数の和を求めよ。\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5\{1+(-1)^n\}}{3^n}\]
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解答　\(\displaystyle \frac54\)
解説
奇数 \(n\) の項は \(1+(-1)^n=0\)、偶数 \(n=2k\) の項は \(1+(-1)^n=2\) となる。したがって、\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5\{1+(-1)^n\}}{3^n}=10\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac19\right)^k=10\cdot\frac{\frac19}{1-\frac19}=\boxed{\frac54}.\]
No.2等比級数の応用
無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3^n}\) の和を求めよ。
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解答　\(2\)
解説
\(|r|<1\) で \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}r^n=\frac{r}{1-r}\)、\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nr^n=\frac{r}{(1-r)^2}\) が成り立つ。\(r=\frac13\) とすると、\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3^n}=2\cdot\frac{\frac13}{(1-\frac13)^2}+\frac{\frac13}{1-\frac13}=\frac32+\frac12=\boxed{2}.\]
No.3部分分数と級数
次の無限級数の和を求めよ。\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}\]
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解答　\(\displaystyle\frac34\)
解説
\[\frac{1}{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right).\]第 \(N\) 項までの和を \(S_N\) とすると、\[S_N=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{N+1}-\frac1{N+2}\right).\]\(N\to\infty\) として、\[\boxed{\lim_{N\to\infty}S_N=\frac34}.\]
No.4交代級数
次の無限級数の和を求めよ。\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n}{2^n}\]
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解答　\(\displaystyle\frac29\)
解説
\(|r|<1\) について \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nr^n=\frac{r}{(1-r)^2}\) を用いる。\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n}{2^n}=-\sum_{n=1}^{\infty}n\left(-\frac12\right)^n=-\frac{-\frac12}{(1+\frac12)^2}=\boxed{\frac29}.\]
No.5方程式と無限級数
2次方程式 \(x^2-4x+c=0\) の2つの実数解を \(\alpha,\beta\) とする。\[\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha-\beta)^{2n}=\frac13\]が成り立つとき、定数 \(c\) を求めよ。
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解答　\(\displaystyle c=\frac{63}{16}\)
解説
\(q=(\alpha-\beta)^2\ge0\) とおく。与えられた級数が有限な正の値に収束するため \(0\le q<1\) であり、\[\frac{q}{1-q}=\frac13\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\]解と係数の関係より \(\alpha+\beta=4,\ \alpha\beta=c\) だから、\[(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=16-4c=\frac14.\]ゆえに \(\boxed{c=\frac{63}{16}}\)。
No.6収束条件と整数
無限級数\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x^2-8x+17}{4}\right)^n\]が収束するような整数 \(x\) は何個あるか。
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解答　\(3\) 個
解説
等比級数が収束する条件は、公比の絶対値が \(1\) より小さいことである。\[\left|\frac{x^2-8x+17}{4}\right|<1.\]ここで \(x^2-8x+17=(x-4)^2+1>0\) より、\[(x-4)^2+1<4\quad\Longleftrightarrow\quad(x-4)^2<3.\]したがって \(4-\sqrt3
No.7等比数列の決定
初項が \(12\) の等比数列 \(\{a_n\}\) について、初めの3項の和が \(21\) であり、無限級数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) は収束する。この無限級数の和を求めよ。
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解答　\(24\)
解説
公比を \(r\) とすると、\[12(1+r+r^2)=21\quad\Longleftrightarrow\quad4r^2+4r-3=0.\]\[(2r-1)(2r+3)=0\quad\Longrightarrow\quad r=\frac12,\ -\frac32.\]収束する条件 \(|r|<1\) より \(r=\frac12\) である。よって、\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{12}{1-\frac12}=\boxed{24}.\]
No.8根号を含む数列の極限
次の極限値を求めよ。\[\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2+n}\right)\]
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解答　\(2\)
解説
分子を有理化すると、\[\sqrt{n^2+5n}-\sqrt{n^2+n}=\frac{4n}{\sqrt{n^2+5n}+\sqrt{n^2+n}}.\]分母・分子を \(n\) で割り、\[\lim_{n\to\infty}\frac4{\sqrt{1+5/n}+\sqrt{1+1/n}}=\frac4{1+1}=\boxed{2}.\]
No.9対数・三角関数の極限
次の極限値を求めよ。\[\lim_{x\to0}\frac{\log(1+3x)-\sin x}{x}\]
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解答　\(2\)
解説
\[\frac{\log(1+3x)-\sin x}{x}=3\frac{\log(1+3x)}{3x}-\frac{\sin x}{x}.\]基本極限 \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\log(1+t)}t=1\)、\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) を用いて、\[\boxed{3\cdot1-1=2}.\]
No.10積で表された数列の極限
\(n\) を正の整数とする。次の極限値を求めよ。\[\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac1k\right)^{\!1/n}\]
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解答　\(1\)
解説
積の中身は望ましい形に約分できる。\[\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac1k\right)=\frac21\cdot\frac32\cdots\frac{n+1}{n}=n+1.\]したがって求める極限は \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n+1)^{1/n}\)。対数を取ると \[\log\bigl((n+1)^{1/n}\bigr)=\frac{\log(n+1)}n\longrightarrow0.\]指数関数の連続性により \(\boxed{1}\)。