楕円 \(4x^2+9y^2-16x+18y-11=0\) について、次の問いに答えなさい。
\(x,\ y\) それぞれについて平方完成します。
\[4(x^2-4x)+9(y^2+2y)=11\] \[4(x-2)^2-16+9(y+1)^2-9=11\] \[4(x-2)^2+9(y+1)^2=36 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\]これは楕円 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) を \(x\) 軸方向に \(2\)、\(y\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動したものです。
もとの楕円は \(a=3,\ b=2\) で、\(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\)。焦点は \((\pm\sqrt{5},\,0)\)、長軸の長さは \(2a=6\) です。
平行移動して、中心 \((2,\,-1)\)、焦点 \((2\pm\sqrt{5},\,-1)\)、長軸の長さ \(6\) となります。
双曲線 \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) について、次の問いに答えなさい。
\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の形で \(a=4,\ b=3\) です。
(1) 双曲線では \(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}=5\)。よって焦点は \((\pm5,\,0)\)。
(2) 漸近線は \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=0\)、すなわち \(y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{3}{4}x\)。
(3) 双曲線は「2 焦点からの距離の差が一定（\(=2a\)）」である点の軌跡なので、\(|\mathrm{PF}-\mathrm{PF'}|=2a=8\)。
放物線 \(y^2=8x\) について、次の問いに答えなさい。
(1) \(y^2=4px\) の形で \(4p=8\) より \(p=2\)。焦点 \((2,\,0)\)、準線 \(x=-2\)。
(2) 放物線 \(y^2=4px\) 上の点 \((x_1,\,y_1)\) における接線は \(y_1y=2p(x+x_1)\) です。
\[4y=4(x+2)\quad\Longrightarrow\quad y=x+2\](3) 接線の傾きが \(1\) なので、法線の傾きは \(-1\)。点 \((2,\,4)\) を通るので
\[y-4=-(x-2)\quad\Longrightarrow\quad y=-x+6\]点 \((0,\,2)\) から楕円 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) に引いた 2 本の接線について、次の問いに答えなさい。
(1) 点 \((0,\,2)\) を通る直線は \(x=0\) では接しないので、\(y=mx+2\) とおいて楕円の式に代入します。
\[\frac{x^2}{4}+(mx+2)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad \left(m^2+\frac{1}{4}\right)x^2+4mx+3=0\]接する条件は判別式 \(=0\) です。
\[\frac{D}{4}=4m^2-3\left(m^2+\frac{1}{4}\right)=m^2-\frac{3}{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad m=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\]よって \(y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+2\)。
(2) 重解は \(x=-\dfrac{2m}{m^2+\frac14}=-2m\)。
\(m=\dfrac{\sqrt3}{2}\) のとき \(x=-\sqrt3,\ y=-\dfrac32+2=\dfrac12\)、
\(m=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) のとき \(x=\sqrt3,\ y=\dfrac12\)。
次の媒介変数表示で表される曲線を、\(x,\ y\) の方程式で表しなさい。
(1) \(\cos\theta=\dfrac{x-1}{2},\ \sin\theta=\dfrac{y+2}{3}\) を \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) に代入して
\[\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{9}=1\]（中心 \((1,\,-2)\)、縦長の楕円）
(2) \(x^2=t^2+2+\dfrac{1}{t^2},\ \ y^2=t^2-2+\dfrac{1}{t^2}\) なので
\[x^2-y^2=4\]また \(t>0\) より、相加平均・相乗平均の関係から \(x=t+\dfrac1t\geqq 2>0\)。
よって、双曲線 \(x^2-y^2=4\) の \(x>0\) の部分（右側の枝）です。
サイクロイド \(x=\theta-\sin\theta,\quad y=1-\cos\theta\quad (0\leqq\theta\leqq 2\pi)\) について、次の問いに答えなさい。
(1) \(\dfrac{dx}{d\theta}=1-\cos\theta,\ \ \dfrac{dy}{d\theta}=\sin\theta\) より
\[\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2=2-2\cos\theta=4\sin^2\frac{\theta}{2}\]\(0\leqq\theta\leqq2\pi\) で \(\sin\dfrac{\theta}{2}\geqq0\) だから
\[L=\int_0^{2\pi}2\sin\frac{\theta}{2}\,d\theta=\Bigl[-4\cos\frac{\theta}{2}\Bigr]_0^{2\pi}=4+4=8\](2) \(S=\displaystyle\int_0^{2\pi}y\,dx=\int_0^{2\pi}(1-\cos\theta)^2\,d\theta\) です。
\[\int_0^{2\pi}\left(1-2\cos\theta+\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)d\theta=\Bigl[\frac{3}{2}\theta-2\sin\theta+\frac{\sin2\theta}{4}\Bigr]_0^{2\pi}=3\pi\]次の極方程式で表される曲線を、直交座標の方程式で表し、どのような図形かを答えなさい。
\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ r^2=x^2+y^2\) を用います。
(1) 両辺に \(r\) を掛けて \(r^2=4r\cos\theta\)。
\[x^2+y^2=4x\quad\Longrightarrow\quad (x-2)^2+y^2=4\](2) 分母を払って \(r-r\cos\theta=2\)、すなわち \(r=x+2\)。両辺を 2 乗して
\[x^2+y^2=x^2+4x+4\quad\Longrightarrow\quad y^2=4(x+1)\]これは \(y^2=4x\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) 平行移動した放物線で、焦点は原点です（離心率 \(e=1\) の 2 次曲線）。
極方程式 \(r=\dfrac{6}{2+\cos\theta}\) で表される曲線について、次の問いに答えなさい。
(1) 分母・分子を \(2\) で割ると
\[r=\frac{3}{1+\frac{1}{2}\cos\theta}\]\(r=\dfrac{ek}{1+e\cos\theta}\) の形なので \(e=\dfrac12\)。\(0 (2) \(2r+r\cos\theta=6\) より \(2r=6-x\)。両辺を 2 乗して （確認）\(a=4,\ b=2\sqrt3,\ c=\sqrt{16-12}=2\)。焦点は \((-2\pm2,\,0)\) で、原点が焦点の 1 つ。離心率 \(c/a=1/2\) も一致します。
楕円 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) に内接し、各辺が座標軸に平行な長方形がある。長方形の第 1 象限にある頂点を P とするとき、次の問いに答えなさい。
楕円の媒介変数表示を用いて \(\mathrm{P}(3\cos\theta,\ 2\sin\theta)\ \left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)\) とおきます。
長方形の横の長さは \(6\cos\theta\)、縦の長さは \(4\sin\theta\) なので、面積 \(S\) は
\[S=6\cos\theta\cdot4\sin\theta=24\sin\theta\cos\theta=12\sin2\theta\]\(0<2\theta<\pi\) より、\(2\theta=\dfrac{\pi}{2}\)、すなわち \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\) のとき最大値 \(12\)。
このとき \(\mathrm{P}\left(3\cdot\dfrac{\sqrt2}{2},\ 2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\left(\dfrac{3\sqrt2}{2},\ \sqrt2\right)\)。
点 \(\mathrm{F}(1,\,0)\) からの距離と、直線 \(\ell : x=4\) からの距離の比が \(1:2\) である点 P の軌跡について、次の問いに答えなさい。
(1) \(\mathrm{P}(x,\,y)\) とおくと、条件は \(2\,\mathrm{PF}=(\text{P と } \ell \text{ の距離})\) なので
\[2\sqrt{(x-1)^2+y^2}=|x-4|\]両辺を 2 乗して整理します。
\[4(x^2-2x+1+y^2)=x^2-8x+16\quad\Longrightarrow\quad 3x^2+4y^2=12\] \[\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\](2) \(a=2,\ b=\sqrt3\) より \(c=\sqrt{4-3}=1\)。焦点は \((\pm1,\,0)\)。
離心率は \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac12\) で、問題文の距離の比 \(\mathrm{PF}:(\text{準線までの距離})=1:2\) と一致します（直線 \(x=4\) は準線 \(x=\dfrac{a^2}{c}\)）。