数学検定準1級
【高校数学 Ⅲ】式と曲線
全10問・問題番号と順番は固定です。「▼ 解答・解説」を押すと各問の答えと考え方を確認できます。
No.1 放物線の焦点と接線
放物線 \(y^{2}=12x\) について、次の問いに答えよ。
（1）焦点の座標と準線の方程式を求めよ。
（2）放物線上の点 \(P(3,6)\) における接線の方程式を求めよ。
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解答
（1）焦点 \(F(3,0)\)、準線 \(x=-3\)
（2）\(\boxed{y=x+3}\)
解説
標準形 \(y^{2}=4px\) と比べると \(4p=12\) より \(p=3\)。したがって焦点は \((p,0)\)、準線は \(x=-p\)。
点 \((x_1,y_1)\) における接線は \(yy_1=2p(x+x_1)\) なので、\(6y=6(x+3)\)。
No.2 楕円の焦点・離心率・接線
楕円 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) について、次の問いに答えよ。
（1）2つの焦点と離心率を求めよ。
（2）点 \(P\left(3,\dfrac{12}{5}\right)\) における接線の方程式を求めよ。
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解答
（1）焦点 \(\boxed{(\pm4,0)}\)、離心率 \(\boxed{\dfrac45}\)
（2）\(\boxed{9x+20y=75}\)
解説
\(a=5,\ b=3\) から \(c=\sqrt{a^2-b^2}=4\)。離心率は \(e=c/a=4/5\)。
楕円の接線公式 \(\dfrac{xx_1}{25}+\dfrac{yy_1}{9}=1\) に点 \(P\) を代入すると、\(\dfrac{3x}{25}+\dfrac{4y}{15}=1\)。両辺に75を掛ける。
No.3 双曲線の漸近線と接線
双曲線 \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) について、次の問いに答えよ。
（1）焦点の座標と漸近線の方程式を求めよ。
（2）点 \(P\left(5,\dfrac94\right)\) における接線の方程式を求めよ。
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解答
（1）焦点 \(\boxed{(\pm5,0)}\)、漸近線 \(\boxed{y=\pm\dfrac34x}\)
（2）\(\boxed{5x-4y=16}\)
解説
\(a=4,\ b=3\) なので \(c=\sqrt{a^2+b^2}=5\)。漸近線は \(y=\pm(b/a)x\)。
接線の方程式 \(\dfrac{xx_1}{16}-\dfrac{yy_1}{9}=1\) に \(P\) を代入して \(\dfrac{5x}{16}-\dfrac y4=1\) を得る。
No.4 楕円と直線が接する条件
楕円 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) と直線 \(y=2x+k\) が接するとき、実数 \(k\) の値をすべて求めよ。
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解答
\(\boxed{k=\pm2\sqrt{10}}\)
解説
\(y=2x+k\) を楕円の式に代入すると、\[\frac{x^2}{9}+\frac{(2x+k)^2}{4}=1.\]
36倍して整理すれば \[40x^2+36kx+9k^2-36=0.\]
接する条件は \(x\) についての判別式 \(D=0\)。
\[D=(36k)^2-4\cdot40(9k^2-36)=5760-144k^2=0\]
よって \(k^2=40\)。
No.5 平行移動した楕円
2次曲線 \(9x^2+4y^2-36x+16y+16=0\) について、次の問いに答えよ。
（1）平方完成して標準形に直し、中心と長軸・短軸の長さを求めよ。
（2）焦点の座標を求めよ。
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解答
（1）\(\boxed{\dfrac{(x-2)^2}{4}+\dfrac{(y+2)^2}{9}=1}\)、中心 \(\boxed{(2,-2)}\)、長軸の長さ \(6\)、短軸の長さ \(4\)
（2）\(\boxed{(2,-2\pm\sqrt5)}\)
解説
平方完成すると \[9(x-2)^2+4(y+2)^2=36.\]
長軸が \(y\) 方向で、長半径 \(a=3\)、短半径 \(b=2\)。焦点までの距離は \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt5\)。
No.6 座標軸の回転と2次曲線
曲線 \(5x^2+6xy+5y^2=8\) に対し、
\[u=\frac{x+y}{\sqrt2},\qquad v=\frac{x-y}{\sqrt2}\]
とおく。（1）\(u,v\) を用いて標準形を求めよ。（2）曲線の種類、長軸の長さ、長軸の方向を答えよ。
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解答
（1）\(\boxed{u^2+\dfrac{v^2}{4}=1}\)
（2）楕円、長軸の長さ \(\boxed4\)、長軸は \(\boxed{y=-x}\) に平行な方向
解説
\(x=(u+v)/\sqrt2,\ y=(u-v)/\sqrt2\) なので、\(x^2+y^2=u^2+v^2\)、\(xy=(u^2-v^2)/2\)。
したがって \[5(x^2+y^2)+6xy=8u^2+2v^2=8.\]
\(v\) 方向が長軸であり、\(u=0\) は \(x+y=0\) に一致する。
No.7 媒介変数表示と接線・法線
曲線 \(x=3\cos t,\ y=2\sin t\ (0\le t<2\pi)\) について、\(t=\dfrac\pi3\) に対応する点を \(P\) とする。
（1）点 \(P\) の座標を求めよ。
（2）点 \(P\) における接線と法線の方程式をそれぞれ求めよ。
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解答
（1）\(\boxed{P\left(\dfrac32,\sqrt3\right)}\)
（2）接線 \(\boxed{2x+3\sqrt3\,y=12}\)、法線 \(\boxed{y-\sqrt3=\dfrac{3\sqrt3}{2}\left(x-\dfrac32\right)}\)
解説
\(dx/dt=-3\sin t,\ dy/dt=2\cos t\) より、\[\frac{dy}{dx}=\frac{-2\cos t}{3\sin t}.\]
\(t=\pi/3\) では接線の傾き \(-2/(3\sqrt3)\)。よって \(y-\sqrt3=-\dfrac{2}{3\sqrt3}(x-\frac32)\) となり、整理すると接線の式を得る。法線の傾きは接線の傾きの負の逆数 \(3\sqrt3/2\)。
No.8 極方程式と接線
極方程式 \(r=4\cos\theta\) で表される曲線について、次の問いに答えよ。ただし極と直交座標の原点は一致する。
（1）直交座標 \(x,y\) による方程式に直し、曲線の種類・中心・半径を答えよ。
（2）\(\theta=\dfrac\pi3\) に対応する点での接線を求めよ。
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解答
（1）\(\boxed{(x-2)^2+y^2=4}\)、中心 \(\boxed{(2,0)}\)、半径 \(\boxed2\) の円
（2）\(\boxed{-x+\sqrt3\,y=2}\)
解説
\(r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x\) より \(r=4\cos\theta\) に \(r\) を掛けて \(x^2+y^2=4x\)。
\(\theta=\pi/3\) では \(r=2\) より \(P=(1,\sqrt3)\)。中心から点 \(P\) への半径ベクトルは \((-1,\sqrt3)\)。よって接線は \[-(x-1)+\sqrt3(y-\sqrt3)=0\] となる。
No.9 焦点条件から楕円の方程式を求める
2定点 \(F_1(-3,0),\ F_2(3,0)\) からの距離の和が常に10である点 \(P(x,y)\) の軌跡を考える。
（1）軌跡の方程式を標準形で表せ。
（2）この軌跡上の点 \(Q(0,4)\) における接線の方程式を求めよ。
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解答
（1）\(\boxed{\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1}\)
（2）\(\boxed{y=4}\)
解説
2焦点までの距離の和は \(2a=10\) なので \(a=5\)。焦点と中心の距離 \(c=3\)。したがって \(b^2=a^2-c^2=25-9=16\)。
楕円の接線公式 \(\dfrac{xx_1}{25}+\dfrac{yy_1}{16}=1\) に \(Q=(0,4)\) を代入すると \(y/4=1\)。
No.10 極方程式から楕円の焦点を求める
極方程式 \[r=\frac{6}{2+\cos\theta}\] で表される曲線について、次の問いに答えよ。
（1）直交座標による標準形に直せ。
（2）中心、2つの焦点、離心率を求めよ。
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解答
（1）\(\boxed{\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1}\)
（2）中心 \(\boxed{(-2,0)}\)、焦点 \(\boxed{(-4,0),(0,0)}\)、離心率 \(\boxed{\dfrac12}\)
解説
極方程式を整理して \(2r+x=6\)、すなわち \(2r=6-x\)。この両辺を2乗すると \[4(x^2+y^2)=(6-x)^2.\]
整理して \(3x^2+4y^2+12x-36=0\)、平方完成すると \[3(x+2)^2+4y^2=48.\]
\(a^2=16,\ b^2=12\) から \(c=\sqrt{16-12}=2\)。長軸は \(x\) 方向で、\(e=c/a=2/4=1/2\)。なお \(2+\cos\theta>0\) なので、両辺を2乗した際の余分な点は生じない。