数学検定準1級

【高校数学 Ⅲ】 複素数平面

オリジナル練習問題（全10問）｜各問題の▼で解答・解説を確認できます。

No.1

複素数 \(z=\dfrac{(1+\sqrt3 i)^6}{(\sqrt3-i)^4}\) を \(a+bi\) の形で表せ。

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【解答】
\(\boxed{z=-2+2\sqrt3 i}\)
【解説】
\(1+\sqrt3 i=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\)、\(\sqrt3-i=2(\cos(-\frac{\pi}{6})+i\sin(-\frac{\pi}{6}))\) である。よって
\[z=\frac{2^6}{2^4}\{\cos(6\cdot\tfrac{\pi}{3}-4(-\tfrac{\pi}{6}))+i\sin(6\cdot\tfrac{\pi}{3}-4(-\tfrac{\pi}{6}))\}\]
\[=4\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=-2+2\sqrt3 i.\]

No.2

複素数方程式 \(z^4=-8+8\sqrt3 i\) のすべての解を求めよ。

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【解答】
\(\boxed{z=2\{\cos(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2})\}\quad(k=0,1,2,3)}\)
【解説】
右辺の絶対値は \(16\)、偏角は \(\frac{2\pi}{3}\) である。\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) とおくと、\(r^4=16\)、\(4\theta=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\)。したがって \(r=2\)、\(\theta=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\)。異なる解は \(k=0,1,2,3\) で尽くされる。

No.3

複素数 \(z=x+yi\) が \(|z-(2+i)|=|z-(-1+3i)|\) を満たすとき、点 \(z\) の軌跡を \(x,y\) の方程式で表せ。

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【解答】
\(\boxed{6x-4y+5=0}\)
【解説】
距離の等式を実部・虚部で表すと、\[(x-2)^2+(y-1)^2=(x+1)^2+(y-3)^2.\] 展開・整理して \(-6x+4y-5=0\)、すなわち \(6x-4y+5=0\)。これは \(2+i\) と \(-1+3i\) を結ぶ線分の垂直二等分線である。

No.4

\(z\ne\pm1\) とする。\(\arg\dfrac{z-1}{z+1}=\dfrac{\pi}{2}\) を満たす点 \(z\) の軌跡を求めよ。ただし偏角は \(-\pi<\arg w\le\pi\) とする。

ReIm−110
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【解答】
\(\boxed{x^2+y^2=1,\quad y>0}\) （単位円の上半円、両端を除く）
【解説】
\(z=x+yi\) とすると、
\[\frac{z-1}{z+1}=\frac{(x^2+y^2-1)+2yi}{(x+1)^2+y^2}.\] 偏角が \(\pi/2\) であるための必要十分条件は、実部が \(0\)、虚部が正であること。よって \(x^2+y^2=1\)、\(y>0\)。

No.5

複素数平面上の点 \(A,B,C\) が \(\alpha=1+i\)、\(\beta=4+2i\) を満たす。\(\overrightarrow{AC}\) は \(\overrightarrow{AB}\) を反時計回りに \(90^\circ\) 回転したベクトルである。\(\gamma\) と三角形 \(ABC\) の面積を求めよ。

A(1,1)B(4,2)C(0,4)ReIm
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【解答】
\(\boxed{\gamma=4i,\quad \text{面積}=5}\)
【解説】
\(\beta-\alpha=3+i\)。反時計回りに \(90^\circ\) 回転する操作は \(i\) を掛けることで表せるから、
\[\gamma-\alpha=i(\beta-\alpha)=i(3+i)=-1+3i.\] よって \(\gamma=(1+i)+(-1+3i)=4i\)。\(AB=AC=|3+i|=\sqrt{10}\)、かつ \(\angle BAC=90^\circ\) より面積は \(\frac12\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}=5\)。

No.6

\(z\ne-1\) について、\(\left|\dfrac{z-1}{z+1}\right|=2\) を満たす点 \(z=x+yi\) の軌跡を求めよ。また、その中心と半径を答えよ。

−5/30ReIm
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【解答】
\(\boxed{(x+\frac53)^2+y^2=\frac{16}{9}}\)、中心 \(\boxed{-\frac53}\)、半径 \(\boxed{\frac43}\)
【解説】
\(|z-1|=2|z+1|\) だから、
\[(x-1)^2+y^2=4\{(x+1)^2+y^2\}.\] 整理すると \(3x^2+10x+3y^2+3=0\)。両辺を \(3\) で割って平方完成すれば、
\[\left(x+\frac53\right)^2+y^2=\frac{16}{9}.\] この円は \(z=-1\) を通らないため除外点への配慮も満たしている。

No.7

複素数方程式 \(z^2-2(1+i)z+4i=0\) を解き、得られた2つの解を表す点の間の距離を求めよ。

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【解答】
\(\boxed{z=2,\ 2i}\)、距離 \(\boxed{2\sqrt2}\)
【解説】
平方完成すると \[\{z-(1+i)\}^2=(1+i)^2-4i=-2i=(1-i)^2.\] よって \(z-(1+i)=\pm(1-i)\) から \(z=2,2i\)。2点の距離は \(|2-2i|=2\sqrt2\) である。

No.8

複素数 \(z\) を \(w=(1+i)z+2-i\) によって \(w\) に移す。\(|z-(1+2i)|=3\) を満たす点 \(z\) の像の軌跡を求め、中心と半径を答えよ。

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【解答】
\(\boxed{|w-(1+2i)|=3\sqrt2}\)、中心 \(\boxed{1+2i}\)、半径 \(\boxed{3\sqrt2}\)
【解説】
\(w=(1+i)z+2-i\) は \(45^\circ\) の回転、\(\sqrt2\) 倍の拡大、平行移動の合成である。元の円の中心 \(1+2i\) の像は
\[(1+i)(1+2i)+2-i=(-1+3i)+(2-i)=1+2i.\] 半径は \(|1+i|=\sqrt2\) 倍されるので \(3\sqrt2\)。

No.9

\(z=x+yi\) は \(\operatorname{Im}z=1\) を満たす。\(|z-2|+|z+2|\) の最小値と、そのときの \(z\) を求めよ。

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【解答】
最小値 \(\boxed{2\sqrt5}\)、そのとき \(\boxed{z=i}\)
【解説】
\(z=x+i\) とおくと、\[f(x)=\sqrt{(x-2)^2+1}+\sqrt{(x+2)^2+1}.\] 2つの距離を、実軸上の点 \((2,0),(-2,0)\) から直線 \(y=1\) 上の点への距離とみなす。点 \((2,0)\) を直線 \(y=1\) に関して反射した点は \((2,2)\)。三角不等式より、距離の和は \((2,2)\) と \((-2,0)\) を結ぶ線分の長さ \(\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\) 以上。線分が \(y=1\) と交わる点は \((0,1)\) であり、等号成立。

No.10

\(|z|=2\)、\(|z-1|=|z-i|\) を同時に満たす複素数 \(z\) をすべて求めよ。

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【解答】
\(\boxed{z=\sqrt2+\sqrt2 i,\quad -\sqrt2-\sqrt2 i}\)
【解説】
\(z=x+yi\) とおけば、\(|z|=2\) より \(x^2+y^2=4\)。また \[|z-1|^2=|z-i|^2\] より \((x-1)^2+y^2=x^2+(y-1)^2\)、すなわち \(x=y\)。\(2x^2=4\) から \(x=y=\pm\sqrt2\)。

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