数学検定５級
数理技能 第5回
問1下の図は，サイコロの展開図です。サイコロは，向かい合う面の数の和が7になっています。
組み立てたとき，アの面の数字を答えなさい。ただし，それぞれの面は正方形です。
解答・解説
答え：4
縦に3つ並んだ面「ア」「2」「3」のうち，1つおいて隣どうしの「ア」と「3」が向かい合う面になります。
したがって，ア \(= 7-3 = 4\)
問2上の問いの続きです。
組み立てたとき，イの面の数字を答えなさい。
解答・解説
答え：6
「2」の面を底面にして組み立てると，「ア」は奥，「3」は手前，「1」は左，「イ」は右，「5」は上の面になります。
「イ」は「1」と向かい合うので，イ \(= 7-1 = 6\)
（確認：「2」と「5」も向かい合い，\(2+5=7\) になっています。）
問3下の図のような1辺が6cmの正四面体ABCDの表面上で，頂点Aから辺BC上の点Pを通り，頂点Dまで糸をかけます。
かけた糸が最も短くなるとき，BPの長さを求めなさい。
解答・解説
答え：
3cm
糸が通る面△ABCと△DBCを，辺BCでつなげて開くと下の図のようになります。糸が最も短くなるのは，展開図でAとDを直線で結んだときです。
四角形ABDCはひし形なので，対角線ADはBCの中点で交わります。よって，\(\mathrm{BP} = 6 \div 2 = 3\)（cm）
問4下の図の直方体ABCD－EFGHについて答えなさい。
辺ABとねじれの位置にある辺はいくつありますか。
解答・解説
答え：4つ
辺ABと平行な辺：DC，EF，HG
辺ABと交わる辺：AD，AE，BC，BF
残りの CG，DH，EH，FG が，平行でなく交わらない辺なので，ねじれの位置にあります。
問5上の問いの続きです。
面ABCDと平行な辺はいくつありますか。
解答・解説
答え：4つ
面ABCDと向かい合う面EFGH上の辺 EF，FG，GH，HE が，面ABCDと平行です。
問6上の問いの続きです。
辺AEと垂直な面はいくつありますか。
解答・解説
答え：2つ
辺AEは，面ABCD上の交わる2辺AB，ADのどちらとも垂直なので，面ABCDと垂直です。同じように面EFGHとも垂直です。
よって，面ABCD，面EFGH の2つです。
問7次の問いに答えなさい。
1つの直線と，その直線上にない1点をふくむ平面はいくつありますか。
解答・解説
答え：1つ
直線上に2点をとると，その2点と直線上にない1点で，1つの直線上にない3点になります。
1つの直線上にない3点をふくむ平面はただ1つに決まるので，答えは1つです。
問8次の問いに答えなさい。
空間内で，1つの平面に垂直な2つの直線は，どのような位置関係にありますか。下の(ア)～(ウ)から選びなさい。
(ア) 交わる(イ) 平行(ウ) ねじれの位置
解答・解説
答え：(イ) 平行
たとえば問4の直方体で，辺AEと辺BFはどちらも面EFGHに垂直で，たがいに平行になっています。
1つの平面に垂直な2直線は，いつも平行になります。
問9次の問いに答えなさい。
下の図の三角柱ABC－DEFで，辺ADとねじれの位置にある辺はいくつありますか。
解答・解説
答え：2つ
辺ADと平行な辺：BE，CF
辺ADと交わる辺：AB，AC，DE，DF
残りの BC，EF がねじれの位置にある辺です。
問10次の問いに答えなさい。
下の図は，母線の長さが12cm，底面の半径が4cmの円錐の展開図です。側面になるおうぎ形の中心角を求めなさい。
解答・解説
答え：120°
おうぎ形の弧の長さは，底面の円周の長さと等しいので \(2\pi \times 4 = 8\pi\)（cm）
半径12cmの円の円周は \(2\pi \times 12 = 24\pi\)（cm）
中心角は
\[ 360 \times \frac{8\pi}{24\pi} = 360 \times \frac{1}{3} = 120 \]
（別解：中心角 \(= 360 \times \dfrac{\text{底面の半径}}{\text{母線}} = 360 \times \dfrac{4}{12}\)）