数学検定５級

数理技能　第1回

比例と反比例

問1次の（　　）の中に，あてはまる言葉を入れなさい。
ともなって変わる2つの変数 \(x\)，\(y\) の間に，\(y=\dfrac{a}{x}\) という関係が成り立つとき，\(y\) は \(x\) に（　　　）するという。ただし，\(a\) は0でない定数とする。
答え：

答え：反比例

\(y=\dfrac{a}{x}\) の形で表される関係を「\(y\) は \(x\) に反比例する」といいます。このとき \(a\) を比例定数といいます。\(y=ax\) の形なら「比例」です。

問2次の（　　）の中に，あてはまる言葉を入れなさい。
座標平面で，\(x\) 軸と \(y\) 軸が交わる点 O を（　　　）という。
答え：

答え：原点

\(x\) 軸と \(y\) 軸の交点 O を原点といい，その座標は \((0,\ 0)\) です。

問3下の表は，\(y\) が \(x\) に比例する関係を表したものです。\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
\(x\)1234
\(y\)\(-3\)\(-6\)\(-9\)\(-12\)
答え：

答え：\(y=-3x\)

比例の式は \(y=ax\) です。\(x=1\) のとき \(y=-3\) なので，\(a=-3\)。
どの組でも \(\dfrac{y}{x}=-3\) になっていることも確かめられます。

問4次のことがらにおいて，\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
時速60kmで \(x\) 時間走ったときに進む道のりは \(y\) kmである。
答え：

答え：\(y=60x\)

（道のり）＝（速さ）×（時間）なので，\(y=60\times x=60x\)。
\(y\) は \(x\) に比例し，比例定数は60です。

問5次のことがらにおいて，\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
面積が \(24\ \text{cm}^2\) の長方形の縦の長さを \(x\) cm，横の長さを \(y\) cmとする。
答え：

答え：\(y=\dfrac{24}{x}\)

（縦）×（横）＝（面積）なので \(xy=24\)。両辺を \(x\) でわって \(y=\dfrac{24}{x}\)。
\(y\) は \(x\) に反比例し，比例定数は24です。

問6次のことがらにおいて，\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
ある針金3mの重さをはかったら，45gあった。同じ針金 \(x\) mの重さを \(y\) gとして，\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
答え：

答え：\(y=15x\)

針金1mあたりの重さは \(45\div 3=15\)（g）です。
よって \(x\) mの重さは \(y=15x\)。

問7次の問いに答えなさい。
容積が360Lの水そうに，毎分 \(x\) Lずつ水を入れると，\(y\) 分で満水になる。\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
答え：

答え：\(y=\dfrac{360}{x}\)

（1分間に入れる量）×（時間）＝（容積）なので \(xy=360\)。
よって \(y=\dfrac{360}{x}\)。\(y\) は \(x\) に反比例します。

問8上の問いの続きです。
毎分24Lずつ水を入れると，何分で満水になりますか。求めなさい。
答え：分

答え：15分

\(y=\dfrac{360}{x}\) に \(x=24\) を代入して，\(y=\dfrac{360}{24}=15\)。

問9右の図の直線は，比例のグラフです。\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
x y O 24 −2−4 24 −2−4
答え：

答え：\(y=\dfrac{2}{3}x\)

比例のグラフは原点を通る直線なので，式は \(y=ax\) とおけます。
グラフは点 \((3,\ 2)\) を通るので，\(y=ax\) に \(x=3,\ y=2\) を代入して
\(2=3a\)　より　\(a=\dfrac{2}{3}\)。
（点 \((-3,\ -2)\) でも同じ結果になります。）

問10次の問いに答えなさい。
\(y\) は \(x\) に反比例し，\(x=3\) のとき \(y=8\) です。\(x=-6\) のときの \(y\) の値を求めなさい。
答え：\(y=\)

答え：\(y=-4\)

反比例の式は \(y=\dfrac{a}{x}\) です。\(x=3,\ y=8\) を代入すると \(8=\dfrac{a}{3}\) より \(a=24\)。
よって \(y=\dfrac{24}{x}\)。\(x=-6\) を代入して \(y=\dfrac{24}{-6}=-4\)。