問1内角の和が \(1440^\circ\) である多角形は，何角形ですか。
答え：十角形
\(n\) 角形の内角の和は \(180^\circ \times (n-2)\) です。
\(180 \times (n-2) = 1440\) より，\(n-2 = 8\)，\(n = 10\)
問2正十二角形の1つの内角は何度ですか。
答え：\(150^\circ\)
多角形の外角の和は \(360^\circ\) なので，1つの外角は \(360^\circ \div 12 = 30^\circ\)
1つの内角は \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\)
（別解）内角の和 \(180^\circ \times (12-2) = 1800^\circ\)，\(1800^\circ \div 12 = 150^\circ\)
問31つの外角の大きさが \(40^\circ\) の正多角形は，正何角形ですか。
答え：正九角形
外角の和はつねに \(360^\circ\) なので，\(360^\circ \div 40^\circ = 9\)
問4八角形の内角の和は何度ですか。
答え：\(1080^\circ\)
\(180^\circ \times (8-2) = 180^\circ \times 6 = 1080^\circ\)
問5下の図で，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(\angle x = 125^\circ\)
三角形の外角は，それととなり合わない2つの内角の和に等しいので
\(\angle x = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ\)
問6下の図で，\(\ell \parallel m\) のとき，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(\angle x = 75^\circ\)
折れ曲がった点を通り，\(\ell\) と \(m\) に平行な直線をひきます。
平行線の錯角は等しいので，\(\angle x\) は \(40^\circ\) と \(35^\circ\) に分けられます。
\(\angle x = 40^\circ + 35^\circ = 75^\circ\)
問71つの内角の大きさが，1つの外角の大きさの5倍である正多角形の辺の数は何本ですか。
答え：12本
1つの外角を \(x^\circ\) とすると，内角は \(5x^\circ\) です。
内角と外角の和は \(180^\circ\) なので，\(x + 5x = 180\)，\(x = 30\)
辺の数は \(360 \div 30 = 12\)（正十二角形）
問8九角形の対角線の本数を求めなさい。
答え：27本
1つの頂点からひける対角線は \(9-3=6\)（本）。頂点は9個ありますが，同じ対角線を2回数えているので
\(\dfrac{9 \times 6}{2} = 27\)（本）
問9下の図の四角形ABCDで，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(\angle x = 75^\circ\)
四角形の内角の和は \(180^\circ \times (4-2) = 360^\circ\) なので
\(\angle x = 360^\circ - (95^\circ + 80^\circ + 110^\circ) = 75^\circ\)
問10下の図のような星形で，\(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E\) の大きさを求めなさい。
答え：\(180^\circ\)
三角形の外角の性質を使うと，たとえば \(\angle B + \angle D\) は，\(\angle A\) をふくむ小さな三角形の1つの角になり，同じく \(\angle C + \angle E\) ももう1つの角になります。
すると，5つの角は1つの三角形の3つの内角に集まるので，和は \(180^\circ\) です。