数学検定4級
数理技能 第3回
問1
図のように，2つの直線が交わっています。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(122^\circ\)
一直線の角は \(180^\circ\) なので，\(\angle x\) と \(58^\circ\) の和は \(180^\circ\) です。
\[\angle x = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ\]
問2
図で，\(\ell \parallel m\) のとき，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(115^\circ\)
直線 \(\ell\) 上で，\(65^\circ\) のとなりの角（\(\ell\) の下側・右側）は
\[180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\]
この角と \(\angle x\) は同位角です。\(\ell \parallel m\) なので同位角は等しく，\(\angle x = 115^\circ\) です。
問3
図の三角形で，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(61^\circ\)
三角形の内角の和は \(180^\circ\) です。
\[\angle x = 180^\circ - (52^\circ + 67^\circ) = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ\]
問4
図の \(\triangle ABC\) で，辺 \(BC\) を延長した直線上に点 \(D\) をとります。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(115^\circ\)
三角形の外角は，それととなり合わない2つの内角の和に等しくなります。
\[\angle x = \angle A + \angle B = 45^\circ + 70^\circ = 115^\circ\]
問5
図で，\(\ell \parallel m\) のとき，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(75^\circ\)
\(\angle x\) の頂点を通り，\(\ell\) に平行な直線をひきます。
この直線によって \(\angle x\) は2つに分けられ，平行線の錯角は等しいので，それぞれ \(35^\circ\)，\(40^\circ\) になります。
\[\angle x = 35^\circ + 40^\circ = 75^\circ\]
問6
図の \(\triangle ABC\) は \(AB = AC\) の二等辺三角形です。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(70^\circ\)
二等辺三角形の2つの底角は等しいので，\(\angle B = \angle C = \angle x\) です。
\[\angle x = (180^\circ - 40^\circ) \div 2 = 140^\circ \div 2 = 70^\circ\]
問7
八角形の内角の和は何度ですか。
答え：\(1080^\circ\)
\(n\) 角形の内角の和は \(180^\circ \times (n-2)\) で求められます。
\[180^\circ \times (8-2) = 180^\circ \times 6 = 1080^\circ\]
（1つの頂点から対角線をひくと，6つの三角形に分けられます。）
問8
1つの内角の大きさが \(140^\circ\) である正多角形は，正何角形ですか。
答え：正九角形
1つの外角の大きさは
\[180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\]
多角形の外角の和は \(360^\circ\) なので，
\[360^\circ \div 40^\circ = 9\]
よって，正九角形です。
問9
図の四角形 \(ABCD\) で，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え：\(90^\circ\)
四角形の内角の和は \(180^\circ \times (4-2) = 360^\circ\) です。
\[\angle x = 360^\circ - (110^\circ + 85^\circ + 75^\circ) = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ\]
問10
図の \(\triangle ABC\) で，\(\angle B = 50^\circ\)，\(\angle C = 70^\circ\) です。点 \(I\) は \(\angle B\) と \(\angle C\) の二等分線の交点です。\(\angle BIC\)（図の \(\angle x\)）の大きさを求めなさい。
答え：\(120^\circ\)
\(\angle IBC = 50^\circ \div 2 = 25^\circ\)，\(\angle ICB = 70^\circ \div 2 = 35^\circ\) です。
\(\triangle IBC\) の内角の和は \(180^\circ\) なので，
\[\angle x = 180^\circ - (25^\circ + 35^\circ) = 120^\circ\]
※ 図は必ずしも正確ではありません。