数学検定4級

数理技能　第2回

全10問・一次関数の活用
各問の「▼ 解答・解説を表示」を押すと、解答と解説が開きます。

問1〜3　道のりと時間

家から4 km離れた駅へ、自転車で一定の速さで向かいます。家を出てから x 分後の、駅までの残りの道のりを y kmとすると、下のグラフのようになりました。

04812162001234残りの道のり y（km）時間 x（分）

問1

駅に着くのは、家を出てから何分後ですか。

解答・解説を表示

解答：20分後

解説
駅に着くと、駅までの残りの道のりが0 kmになります。グラフと横軸が交わる点の x 座標は20なので、20分後です。

問2

家を出てから5分後の、駅までの残りの道のりは何kmですか。

解答・解説を表示

解答：3 km

解説
20分間で残りの道のりが4 km減るので、1分間では4 ÷ 20 ＝ 0.2（km）減ります。
したがって、4 − 0.2 × 5 ＝ 3（km）です。

問3

駅までの残りの道のりが1.6 kmになるのは、家を出てから何分後ですか。

解答・解説を表示

解答：12分後

解説
グラフの式は y ＝ −0.2x ＋ 4 です。
1.6 ＝ −0.2x ＋ 4 より、0.2x ＝ 2.4。
したがって、x ＝ 12 となります。

問4・5　線分上を動く2点

長さ24 cmの線分AB上を、点Pは毎秒2 cm、点Qは毎秒4 cmの速さで往復します。PはAからBへ、QはBからAへ同時に出発し、端に着くと直ちに折り返します。出発してから x 秒後のAPの長さを y cmとします。端点で同時に同じ位置になる場合も「出会う」に含めます。

AB24 cmP → 毎秒2 cm毎秒4 cm ← Q

問4

点Pが初めてBに着いてから、初めてAに戻るまでの間について、y を x の式で表しなさい。また、x の範囲も答えなさい。

解答・解説を表示

解答：y ＝ −2x ＋ 48　（12 ≦ x ≦ 24）

解説
点PがBに着くのは、24 ÷ 2 ＝ 12（秒）後です。そこからAへ戻るとき、APは毎秒2 cmずつ短くなります。
y ＝ 24 − 2(x − 12) ＝ −2x ＋ 48
Aに戻るのは24秒後なので、範囲は12 ≦ x ≦ 24です。

問5

2点P、Qが2回目に出会うのは、出発してから何秒後ですか。

解答・解説を表示

解答：12秒後

解説
最初は向かい合って進むので、1回目に出会うのは24 ÷ (2 ＋ 4) ＝ 4（秒）後です。
Qは6秒後にAに着いて折り返します。このときPはAから12 cmの位置にいます。
その後、QはPを毎秒4 − 2 ＝ 2（cm）の割合で追いつめるので、追いつくまでに12 ÷ 2 ＝ 6（秒）かかります。
よって、2回目に出会うのは6 ＋ 6 ＝ 12（秒）後で、場所はBです。

問6・7　列車の運行グラフ

6 km離れたA駅とB駅の間を、Pさんは7時にA駅を出発し、一定の速さで歩いて8時にB駅に到着します。列車はA駅を7時10分・30分・50分に、B駅を7時00分・20分・40分に出発し、どの列車も12分で反対側の駅に着きます。この時間帯に走る列車は、ここに示したものだけです。下のグラフを見て答えなさい。

01020304050600123456A駅からの道のり（km）7時からの時間（分）
実線：Pさん破線：A駅発点線：B駅発

問6

Pさんは、A駅を出発してからB駅に到着するまでに、B駅発の列車と何回すれ違いますか。

解答・解説を表示

解答：3回

解説
Pさんを表す実線と、B駅発の列車を表す点線との交点を数えます。交点は3個あるので、すれ違う回数は3回です。

問7

Pさんは、A駅を出発してからB駅に到着するまでに、A駅発の列車に何回追い越されますか。

解答・解説を表示

解答：2回

解説
Pさんを表す実線と、A駅発の列車を表す破線との交点を数えます。7時10分発・7時30分発の列車がPさんを追い越すので、2回です。
7時50分発の列車は、PさんがB駅に到着する7時60分（8時）の時点で、A駅から5 kmの位置にいます。Pさんの到着までには追い越しません。

問8〜10　動点と面積

下の台形ABCDで、AD ∥ BC、AB ⊥ BC、AD ＝ 3 cm、BC ＝ 7 cm、AB ＝ 4 cmです。点PはAからDへ辺AD上を、点QはBからCへ辺BC上を、同時に毎秒1 cmの速さで動き始めます。それぞれD、Cに着くと止まります。出発してから x 秒後の四角形ABQPの面積を y cm²とします。

ABCDPQ3 cm7 cm4 cm→→

図は移動途中の一例です。0 ≦ x ≦ 7 の範囲で考えます。

問8

出発してから1秒後の、四角形ABQPの面積を求めなさい。

解答・解説を表示

解答：4 cm²

解説
1秒後にはAP ＝ BQ ＝ 1 cmです。四角形ABQPは縦4 cm、横1 cmの長方形なので、面積は4 × 1 ＝ 4（cm²）です。

問9

3 ≦ x ≦ 7 のとき、y を x の式で表しなさい。

解答・解説を表示

解答：y ＝ 2x ＋ 6

解説
3秒後にはPがDに到着して止まるため、AP ＝ 3 cmです。一方、BQ ＝ x cmです。
四角形ABQPは、平行な2辺の長さが3 cmと x cm、高さが4 cmの台形です。
y ＝ (3 ＋ x) × 4 ÷ 2 ＝ 2x ＋ 6

問10

四角形ABQPの面積が、台形ABCDの面積の半分になるのは、出発してから何秒後ですか。

解答・解説を表示

解答：2.5秒後

解説
台形ABCDの面積は、(3 ＋ 7) × 4 ÷ 2 ＝ 20（cm²）です。その半分は10 cm²です。
0 ≦ x ≦ 3 ではAP ＝ BQ ＝ x cmなので、y ＝ 4x。
4x ＝ 10 を解くと、x ＝ 52 ＝ 2.5。これは0 ≦ x ≦ 3を満たすので、2.5秒後です。