数学検定4級

数理技能　第1回

（1次関数）
問1
次の式で \(y\) が \(x\) の1次関数であるものには○を，そうでないものには×を答えなさい。 \[ y = -4x + 7 \]
▼解答・解説
答え：○
\(y = ax + b\) の形（\(a = -4,\ b = 7\)）で表されているので，1次関数です。
問2
次の式で \(y\) が \(x\) の1次関数であるものには○を，そうでないものには×を答えなさい。 \[ y = \frac{6}{x} \]
▼解答・解説
答え：×
\(y = \dfrac{a}{x}\) の形なので，\(y\) は \(x\) に反比例します。1次関数ではありません。
問3
次の式で \(y\) が \(x\) の1次関数であるものには○を，そうでないものには×を答えなさい。 \[ 3x + 2y = 8 \]
▼解答・解説
答え：○
\(y\) について解くと \[ 2y = -3x + 8 \qquad y = -\frac{3}{2}x + 4 \] \(y = ax + b\) の形になるので，1次関数です。
問4
次の式で \(y\) が \(x\) の1次関数であるものには○を，そうでないものには×を答えなさい。 \[ y = 2x^2 \]
▼解答・解説
答え：×
右辺に \(x^2\)（2次の項）があるので，1次関数ではありません。
問5
傾きが \(-3\) で，点 \((2,\ 1)\) を通る直線の式を求めなさい。
▼解答・解説
答え：\(y = -3x + 7\)
求める式を \(y = -3x + b\) とおきます。点 \((2,\ 1)\) を通るので，\(x = 2,\ y = 1\) を代入して \[ 1 = -3 \times 2 + b \qquad b = 7 \] よって \(y = -3x + 7\) です。
問6
2点 \((-1,\ 5)\)，\((3,\ -3)\) を通る直線の式を求めなさい。
▼解答・解説
答え：\(y = -2x + 3\)
傾きは \[ \frac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2 \] \(y = -2x + b\) に \(x = -1,\ y = 5\) を代入して \[ 5 = -2 \times (-1) + b \qquad b = 3 \] よって \(y = -2x + 3\) です。
問7
下の図で，直線 \(\ell\) は \(y = x + 4\)，直線 \(m\) は \(y = -2x + 10\) のグラフです。 \(\ell\) と \(m\) の交点を P，\(\ell\) と \(x\) 軸との交点を A，\(m\) と \(x\) 軸との交点を B とします。 座標の1目もりを1cmとして，次の問いに答えなさい。
点 P の座標を求めなさい。
▼解答・解説
答え：\(\mathrm{P}\,(2,\ 6)\)
2つの式を連立方程式として解きます。 \[ x + 4 = -2x + 10 \qquad 3x = 6 \qquad x = 2 \] \(y = 2 + 4 = 6\) なので，P の座標は \((2,\ 6)\) です。
問8
下の図で，直線 \(\ell\) は \(y = x + 4\)，直線 \(m\) は \(y = -2x + 10\) のグラフです。 \(\ell\) と \(m\) の交点を P，\(\ell\) と \(x\) 軸との交点を A，\(m\) と \(x\) 軸との交点を B とします。 座標の1目もりを1cmとして，次の問いに答えなさい。
点 A，B の座標をそれぞれ求めなさい。
▼解答・解説
答え：\(\mathrm{A}\,(-4,\ 0)\)，\(\mathrm{B}\,(5,\ 0)\)
\(x\) 軸上の点は \(y = 0\) です。
A：\(0 = x + 4\) より \(x = -4\)
B：\(0 = -2x + 10\) より \(x = 5\)
問9
下の図で，直線 \(\ell\) は \(y = x + 4\)，直線 \(m\) は \(y = -2x + 10\) のグラフです。 \(\ell\) と \(m\) の交点を P，\(\ell\) と \(x\) 軸との交点を A，\(m\) と \(x\) 軸との交点を B とします。 座標の1目もりを1cmとして，次の問いに答えなさい。
\(\triangle \mathrm{PAB}\) の面積は何 cm² ですか。
▼解答・解説
答え：27 cm²
底辺 AB の長さは \(5 - (-4) = 9\)（cm），高さは P の \(y\) 座標で 6 cm です。 \[ \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27 \]
問10
下の図で，直線 \(\ell\) は \(y = x + 4\)，直線 \(m\) は \(y = -2x + 10\) のグラフです。 \(\ell\) と \(m\) の交点を P，\(\ell\) と \(x\) 軸との交点を A，\(m\) と \(x\) 軸との交点を B とします。 座標の1目もりを1cmとして，次の問いに答えなさい。
点 P を通り，\(\triangle \mathrm{PAB}\) の面積を2等分する直線の式を求めなさい。
▼解答・解説
答え：\(y = 4x - 2\)
頂点 P を通って面積を2等分する直線は，対辺 AB の中点 M を通ります。 \[ \mathrm{M} \text{ の } x \text{ 座標} = \frac{-4 + 5}{2} = \frac{1}{2} \qquad \mathrm{M}\left(\frac{1}{2},\ 0\right) \] 2点 P\((2,\ 6)\)，M\(\left(\frac{1}{2},\ 0\right)\) を通る直線の傾きは \[ \frac{6 - 0}{2 - \frac{1}{2}} = 6 \div \frac{3}{2} = 4 \] \(y = 4x + b\) に \(x = 2,\ y = 6\) を代入して \(6 = 8 + b\)，\(b = -2\)。
よって \(y = 4x - 2\) です。