問1次の問いに答えなさい。
全長が14kmのコースを，スタートからA地点までは自転車で進み，A地点からさきは自転車を降りて走ります。自転車の速さが毎時15km，走る速さが毎時6kmのとき，スタートからゴールまで1時間20分かかりました。
自転車で進んだ道のりを求めなさい。
答え：10 km
自転車で進んだ道のりを \(x\) km，走った道のりを \(y\) km とします。1時間20分 \(=\dfrac{4}{3}\) 時間 なので，
\[ \begin{cases} x + y = 14 \\[4pt] \dfrac{x}{15} + \dfrac{y}{6} = \dfrac{4}{3} \end{cases} \]下の式の両辺を30倍すると \(2x + 5y = 40\)。
上の式を2倍した \(2x + 2y = 28\) との差をとると \(3y = 12\)，よって \(y = 4\)。
\(x = 14 - 4 = 10\)
（確かめ）\(\dfrac{10}{15} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\) 時間 ＝ 1時間20分
問2上の問いの続きです。
走った道のりを求めなさい。
答え：4 km
問1の連立方程式を解くと \(x = 10,\ y = 4\)。
走った道のりは \(y = 4\) km です。
問3次の問いに答えなさい。
峠をはさんで14000m離れたA，B両地がある。A地からB地まで行くのに，A地から峠までは時速3km，峠からB地までは時速5kmで歩いて，全体で4時間かかった。
このとき，A地から峠までは何kmか求めなさい。
答え：9 km
A地から峠までを \(x\) km，峠からB地までを \(y\) km とします。14000m \(= 14\) km なので，
\[ \begin{cases} x + y = 14 \\[4pt] \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{5} = 4 \end{cases} \]下の式の両辺を15倍すると \(5x + 3y = 60\)。
上の式を3倍した \(3x + 3y = 42\) との差をとると \(2x = 18\)，よって \(x = 9\)。
（確かめ）\(\dfrac{9}{3} + \dfrac{5}{5} = 3 + 1 = 4\) 時間
問4上の問いの続きです。
峠からB地までは何kmか求めなさい。
答え：5 km
問3より \(x = 9\) なので，\(y = 14 - 9 = 5\)。
峠からB地までは 5 km です。
問5次の問いに答えなさい。
Bさんは8時に家を出発して，2400mはなれた学校へむかいました。はじめは毎分60mの速さで歩いていましたが，遅刻しそうになったので，途中から毎分160mの速さで走ったら，学校には8時25分に着きました。
歩いた道のりを求めなさい。
答え：960 m
歩いた道のりを \(x\) m，走った道のりを \(y\) m とします。かかった時間は25分なので，
\[ \begin{cases} x + y = 2400 \\[4pt] \dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{160} = 25 \end{cases} \]下の式の両辺を480倍すると \(8x + 3y = 12000\)。
上の式を3倍した \(3x + 3y = 7200\) との差をとると \(5x = 4800\)，よって \(x = 960\)。
（確かめ）\(\dfrac{960}{60} + \dfrac{1440}{160} = 16 + 9 = 25\) 分
問6上の問いの続きです。
走った道のりを求めなさい。
答え：1440 m
問5より \(x = 960\) なので，\(y = 2400 - 960 = 1440\)。
走った道のりは 1440 m です。
問7次の問いに答えなさい。
周囲が3600mの池があります。この池のまわりを，AとBが同じ地点から同時に出発して歩きます。反対の方向にまわると12分後に出会い，同じ方向にまわると，Aは60分後にBにはじめて追いつきます。
Aの速さは毎分何mですか。
答え：毎分 180 m
Aの速さを毎分 \(x\) m，Bの速さを毎分 \(y\) m とします。
反対方向にまわって出会うとき，2人の進んだ道のりの和が池の周囲に等しくなります。
同じ方向にまわってAがBに追いつくとき，2人の進んだ道のりの差が池の周囲に等しくなります。
\[ \begin{cases} 12x + 12y = 3600 \\[4pt] 60x - 60y = 3600 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x + y = 300 \\[4pt] x - y = 60 \end{cases} \]2式をたすと \(2x = 360\)，よって \(x = 180\)。
問8上の問いの続きです。
Bの速さは毎分何mですか。
答え：毎分 120 m
問7より \(x = 180\) なので，\(x + y = 300\) から \(y = 300 - 180 = 120\)。
（確かめ）同じ方向：\(60 \times 180 - 60 \times 120 = 10800 - 7200 = 3600\)
問9次の問いに答えなさい。
ある列車が，1200mの鉄橋を渡りはじめてから渡り終わるまでに60秒かかった。また，この列車が2200mのトンネルに入りはじめてから出てしまうまでに100秒かかった。
この列車の長さを求めなさい。ただし，列車の速さは一定とします。
答え：300 m
列車の長さを \(x\) m，列車の速さを秒速 \(y\) m とします。
鉄橋を渡りはじめてから渡り終わるまでに列車が進む道のりは「鉄橋の長さ＋列車の長さ」です。トンネルの場合も同様に「トンネルの長さ＋列車の長さ」になります。
\[ \begin{cases} x + 1200 = 60y \\[4pt] x + 2200 = 100y \end{cases} \]下の式から上の式をひくと \(1000 = 40y\)，よって \(y = 25\)。
上の式に代入して \(x + 1200 = 1500\)，よって \(x = 300\)。
問10上の問いの続きです。
この列車の時速を求めなさい。
答え：時速 90 km
問9より，列車の速さは秒速 25 m です。
1時間は 3600 秒なので，\(25 \times 3600 = 90000\) m \(= 90\) km。
よって 時速 90 km です。