数学検定3級

数理技能　第5回

問1

半径 \(6\,\text{cm}\)，中心角 \(120^\circ\) のおうぎ形があります。このおうぎ形の弧の長さを求めなさい。ただし，円周率は \(\pi\) とします。

O 120° 6cm
答え　\(4\pi\,\text{cm}\)
おうぎ形の弧の長さは，円周 \(\times\) \(\dfrac{\text{中心角}}{360}\) で求めます。 \[ 2\pi\times 6\times\frac{120}{360}=12\pi\times\frac{1}{3}=4\pi\ (\text{cm}) \]
問2

次の図で，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。ただし，点 O は円の中心です。

O 110° C A B x
ア　\(50^\circ\)
イ　\(55^\circ\)
ウ　\(110^\circ\)
答え　イ　\(55^\circ\)
\(\angle x\) は弧 AB に対する円周角，\(\angle\text{AOB}\) は同じ弧に対する中心角です。
円周角は中心角の半分なので，\(\angle x=110^\circ\div 2=55^\circ\)
問3

次の図で，線分 AB は円 O の直径です。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。

O A B C 34° x
ア　\(46^\circ\)
イ　\(56^\circ\)
ウ　\(66^\circ\)
答え　イ　\(56^\circ\)
直径に対する円周角は \(90^\circ\) なので，\(\angle\text{ACB}=90^\circ\)
\(\triangle\text{ABC}\) の内角の和より，\(\angle x=180^\circ-90^\circ-34^\circ=56^\circ\)
問4

次の図で，4点 A，B，C，D は円周上の点で，線分 AC と BD の交点を P とします。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。

A B C D P x 30° 45°
ア　\(75^\circ\)
イ　\(95^\circ\)
ウ　\(105^\circ\)
答え　ウ　\(105^\circ\)
弧 AD に対する円周角は等しいので，\(\angle\text{ACD}=\angle\text{ABD}=30^\circ\)
\(\triangle\text{PCD}\) で，\(\angle\text{DPC}=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\)
対頂角は等しいので，\(\angle x=\angle\text{APB}=\angle\text{DPC}=105^\circ\)
問5

次の図で，直線 PA，PB は点 A，B で円 O に接しています。点 C が円周上にあるとき，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。

O A B C P 48° x
ア　\(48^\circ\)
イ　\(66^\circ\)
ウ　\(132^\circ\)
答え　イ　\(66^\circ\)
円の接線は接点を通る半径に垂直なので，\(\angle\text{OAP}=\angle\text{OBP}=90^\circ\)
四角形 OAPB の内角の和は \(360^\circ\) なので，\(\angle\text{AOB}=360^\circ-90^\circ-90^\circ-48^\circ=132^\circ\)
\(\angle x\) は弧 AB に対する円周角なので，\(\angle x=132^\circ\div 2=66^\circ\)
問6

半径 \(6\,\text{cm}\) の円 O で，中心 O から弦 AB までの距離が \(4\,\text{cm}\) です。弦 AB の長さ \(x\,\text{cm}\) を求めなさい。

O A B H 6cm 4cm xcm
ア　\(2\sqrt{5}\)
イ　\(4\sqrt{5}\)
ウ　\(8\)
答え　イ　\(4\sqrt{5}\,\text{cm}\)
中心 O から弦 AB にひいた垂線 OH は，弦 AB を二等分します。
\(\triangle\text{OAH}\) で三平方の定理より， \[ \text{AH}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ (\text{cm}) \] よって，\(x=2\times 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\)
問7

次の図で，直線 PA は点 A で円 O に接しています。円 O の半径が \(3\,\text{cm}\)，\(\text{OP}=7\,\text{cm}\) のとき，線分 PA の長さ \(x\,\text{cm}\) を求めなさい。

O A P 3cm 7cm xcm
ア　\(\sqrt{10}\)
イ　\(2\sqrt{10}\)
ウ　\(4\)
答え　イ　\(2\sqrt{10}\,\text{cm}\)
接線は接点を通る半径に垂直なので，\(\angle\text{OAP}=90^\circ\)
\(\triangle\text{OAP}\) で三平方の定理より， \[ x=\sqrt{7^2-3^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \]
問8

次の図のように，円周を8等分する点を A，B，C，D，E，F，G，H とします。\(\angle x\)（\(\angle\text{ADG}\)）の大きさを求めなさい。

A B C D E F G H x
ア　\(22.5^\circ\)
イ　\(45^\circ\)
ウ　\(60^\circ\)
答え　イ　\(45^\circ\)
円周を8等分しているので，1つ分の弧に対する中心角は \(360^\circ\div 8=45^\circ\)，円周角はその半分の \(22.5^\circ\) です。
\(\angle\text{ADG}\) は弧 AG（点 H を含む側，弧2つ分）に対する円周角なので， \[ \angle x=22.5^\circ\times 2=45^\circ \]
問9

問8と同じく，円周を8等分する点を A〜H とします。線分 AF と線分 BH の交点を P とするとき，\(\angle x\)（\(\angle\text{APB}\)）の大きさを求めなさい。

A B C D E F G H P x
ア　\(60^\circ\)
イ　\(67.5^\circ\)
ウ　\(72^\circ\)
答え　イ　\(67.5^\circ\)
弧1つ分に対する円周角は \(22.5^\circ\) です。線分 AH をひいて \(\triangle\text{APH}\) を考えます。
\(\angle\text{AHP}=\angle\text{AHB}\)：弧 AB（1つ分）に対する円周角なので \(22.5^\circ\)
\(\angle\text{HAP}=\angle\text{HAF}\)：弧 HF（点 G を含む側，2つ分）に対する円周角なので \(45^\circ\)
\(\angle\text{APB}\) は \(\triangle\text{APH}\) の外角なので， \[ \angle x=22.5^\circ+45^\circ=67.5^\circ \]
問10

次の図で，4点 A，B，C，D は円周上の点です。\(\overset{\frown}{\text{AB}}=4\,\text{cm}\)，\(\overset{\frown}{\text{CD}}=6\,\text{cm}\)，\(\angle\text{ACB}=24^\circ\) のとき，\(\angle x\)（\(\angle\text{CBD}\)）の大きさを求めなさい。

A B C D 4cm 6cm 24° x
ア　\(30^\circ\)
イ　\(36^\circ\)
ウ　\(40^\circ\)
答え　イ　\(36^\circ\)
1つの円で，円周角の大きさは弧の長さに比例します。
\(\angle\text{ACB}\) は弧 AB，\(\angle\text{CBD}\) は弧 CD に対する円周角なので， \[ 24:x=4:6 \quad\Rightarrow\quad 4x=144 \quad\Rightarrow\quad x=36 \]