数学検定3級
数理技能 第5回
全10問 ／ 三平方の定理と図形
各問の▼をクリックすると、解答・解説が表示されます。
根号を含む答えは、できるだけ簡単な形で答えなさい。
図は模式図です。長さや角度は、問題文の条件に従ってください。
問1
図の四角形ABCDは、∠ABC＝∠BCD＝90°の台形です。AB＝6 cm、BC＝8 cm、CD＝12 cmのとき、ADの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：10 cm
AからCDに垂線AHを下ろします。AH＝BC＝8 cm、DH＝CD−AB＝6 cmです。直角三角形ADHで、AD²＝8²＋6²＝100。したがって、AD＝10 cmです。
問2
図の台形ABCDで、AD ∥ BC、∠ABC＝90°です。AD＝4 cm、BC＝9 cm、CD＝7 cmのとき、高さABを求めなさい。
解答・解説
解答：2√6 cm
DからBCに垂線DHを下ろすと、HC＝9−4＝5 cmです。DH²＝7²−5²＝24より、DH＝2√6 cm。AB＝DHなので、AB＝2√6 cmです。
問3
図の台形ABCDで、AD ∥ BC、∠ABC＝90°です。AB＝6 cm、AD＝5 cm、CD＝10 cmのとき、BCの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：13 cm
DからBCに垂線DHを下ろすと、DH＝6 cm、BH＝5 cmです。HC²＝10²−6²＝64より、HC＝8 cm。したがって、BC＝5＋8＝13 cmです。
問4
AB＝AC＝13 cm、BC＝10 cmの二等辺三角形ABCがあります。AからBCに下ろした垂線をAHとするとき、AHの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：12 cm
二等辺三角形の頂点から底辺に下ろした垂線は、底辺を二等分します。BH＝5 cmなので、AH²＝13²−5²＝144。よって、AH＝12 cmです。
問5
四角形ABCDで、∠ABC＝∠ADC＝90°です。AB＝6 cm、BC＝8 cm、AD＝7 cmのとき、CDの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：√51 cm
直角三角形ABCで、AC²＝6²＋8²＝100。次に直角三角形ADCで、CD²＝AC²−AD²＝100−49＝51。したがって、CD＝√51 cmです。
問6
∠ABC＝90°の直角三角形ABCで、Bから斜辺ACに垂線BHを下ろします。AH＝9 cm、HC＝3 cmのとき、ABの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：6√3 cm
BH＝h cmとすると、AB²＝h²＋9²、BC²＝h²＋3²です。また、AC＝12 cmなので、AB²＋BC²＝12²。よって、2h²＋81＋9＝144からh²＝27。したがって、AB²＝27＋81＝108より、AB＝6√3 cmです。
問7
四角形ABCDで、∠ABC＝∠ADC＝90°です。AB＝9 cm、BC＝12 cm、AD＝12 cmのとき、CDの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：9 cm
直角三角形ABCより、AC²＝9²＋12²＝225。直角三角形ADCより、CD²＝AC²−AD²＝225−144＝81。したがって、CD＝9 cmです。
問8
図の台形ABCDで、AD ∥ BC、AB＝CD＝13 cm、AD＝4 cm、BC＝14 cmです。対角線ACの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：15 cm
A、DからBCに垂線AH、DKを下ろします。両端の直角三角形ABH、DCKは合同なので、BH＝KC＝(14−4)÷2＝5 cmです。AH²＝13²−5²＝144より、AH＝12 cm。HC＝14−5＝9 cmだから、AC²＝12²＋9²＝225。よって、AC＝15 cmです。
問9
図の台形ABCDで、AD ∥ BC、AB＝CD＝13 cm、AD＝4 cm、BC＝14 cmです。Dから対角線ACに下ろした垂線DEの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：165 cm
問8と同じ考え方で、台形の高さは12 cm、AC＝15 cmです。三角形ADCの面積は、ADを底辺とすると4×12÷2＝24 cm²。一方、ACを底辺とすると15×DE÷2＝24なので、DE＝48÷15＝165 cmです。
問10
図で、∠ABC＝90°、∠ACB＝60°、AC＝8 cmです。また、∠ADB＝90°、AD＝BDです。ADの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：2√6 cm
三角形ABCは、30°・60°・90°の直角三角形なので、BC＝4 cmです。三平方の定理より、AB²＝8²−4²＝48。AD＝BD＝x cmとすると、直角三角形ADBでx²＋x²＝48。よってx²＝24から、AD＝2√6 cmです。