数学検定3級
数理技能 第4回
※ 図は必ずしも正確ではありません。
問1
次の図のア～ウのうち，4点A，B，C，Dが1つの円周上にないものを1つ選びなさい。
答えイ
解説2点A，Dが直線BCについて同じ側にあるとき，
∠BAC=∠BDC ならば4点A，B，C，Dは1つの円周上にあります（円周角の定理の逆）。
- ア：∠BAC=∠BDC=40∘ なので，1つの円周上にある。
- イ：∠BAC=50∘, ∠BDC=55∘ で等しくないので，1つの円周上にない。
- ウ：∠BAC=180∘−(60∘+75∘)=45∘ となり，∠BDC=45∘ と等しいので，1つの円周上にある。
問2
次の図で，4点A，B，C，Dが1つの円周上にあるものには○，1つの円周上にないものには×を答えなさい。
答え×
解説円周角の定理の逆が使えるのは，2点A，Dが直線BCについて同じ側にあるときです。この図ではAとDが反対側にあります。
もし4点が1つの円周上にあるとすると，∠BAC と ∠BDC は円を2つに分ける弧に対する円周角になり，それぞれの中心角の和は 360∘ なので
∠BAC+∠BDC=180∘
となるはずです。しかし 40∘+40∘=80∘ なので，1つの円周上にありません。
問3
次の図で，4点A，B，C，Dが1つの円周上にあるものには○，1つの円周上にないものには×を答えなさい。
答え○
解説△EBC で，
∠ACB=180∘−(110∘+30∘)=40∘
よって ∠ADB=∠ACB=40∘ で，2点C，Dは直線ABについて同じ側にあるので，円周角の定理の逆より4点は1つの円周上にあります。
問4
次の図で，4点A，B，C，Dが1つの円周上にあるものには○，1つの円周上にないものには×を答えなさい。
答え×
解説対頂角は等しいので ∠CED=∠AEB=80∘。△ECD で，
∠ACD=180∘−(80∘+60∘)=40∘
∠ABD=35∘，∠ACD=40∘ で等しくないので，4点は1つの円周上にありません。
問5
次の図で，点Oは円の中心です。∠x の大きさを求めなさい。
答え∠x=62∘
解説∠x は弧ABに対する円周角，∠AOB は弧ABに対する中心角です。円周角は中心角の半分なので，
∠x=21×124∘=62∘
問6
次の図で，線分ABは円Oの直径です。∠x の大きさを求めなさい。
答え∠x=62∘
解説半円の弧に対する円周角は 90∘ なので，∠ACB=90∘。
△ABC で，∠ABC=180∘−(90∘+28∘)=62∘
∠x と ∠ABC はどちらも弧ACに対する円周角なので，∠x=∠ABC=62∘
問7
次の図で，弦ACと弦BDの交点をPとします。∠y の大きさを求めなさい。
答え∠y=58∘
解説△ABP で，外角 ∠BPC はとなり合わない2つの内角の和に等しいので，
∠BAC=96∘−38∘=58∘
∠y と ∠BAC はどちらも弧BCに対する円周角なので，∠y=∠BAC=58∘
問8
次の図のように，円の2つの弦AB，CDが点Pで交わっています。PA=6cm，PB=4cm，PC=3cm のとき，線分PDの長さ x を求めなさい。
答えx=8（cm）
解説△PAC と
△PDB で，
- 弧BCに対する円周角は等しいので，∠PAC=∠PDB
- 対頂角は等しいので，∠APC=∠DPB
2組の角がそれぞれ等しいので，
△PAC∼△PDB
対応する辺の比は等しいので，
PA:PD=PC:PB
6:x=3:43x=24x=8
問9
次のア～ウの図で，∠x の大きさがもっとも大きいものを1つ選びなさい。ただし，点Oは円の中心で，イの線分ABは直径です。
答えア
解説- ア：円周角は中心角の半分なので，∠x=21×150∘=75∘
- イ：半円の弧に対する円周角なので ∠ACB=90∘。よって ∠x=180∘−(90∘+20∘)=70∘
- ウ：弧ABに対する円周角は等しいので，∠x=72∘
もっとも大きいのはアの
75∘ です。
問10
次の図のように，円Oの周上に5点A，B，C，D，Eがあり，円周を5等分しています。∠BAD の大きさを次の中から選びなさい。
ア 36∘ イ 54∘ ウ 72∘ エ 108∘
答えウ（72∘）
解説円周を5等分しているので，1つの弧に対する中心角は 360∘÷5=72∘。
∠BAD は，点Aをふくまない弧BD（弧2つ分）に対する円周角です。弧BDの中心角は 72∘×2=144∘ なので，
∠BAD=21×144∘=72∘