数学検定3級

数理技能　第4回

円・円周角とその応用

全10問・問題番号と順番は固定です。図は配置を示すもので、角度や長さの比は正確とは限りません。

問1

4点 A、B、C、D について、点 C と点 D は直線 AB の同じ側にあります。次のア～ウのうち、4点が同じ円周上にないものを1つ選びなさい。
問題文に示した点と線分の配置ABCD
∠ACB∠ADB
ア38°38°
イ52°48°
ウ71°71°
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答え：イ

C、D が直線 AB の同じ側にあるとき、∠ACB＝∠ADB なら、円周角の定理の逆により4点は同じ円周上にあります。イだけは2つの角が異なるので、同じ円周上にありません。

問2

凸四角形 ABCD で、∠ABC＝74°、∠ADC＝106° です。4つの頂点は同じ円周上にありますか。○または×で答えなさい。
問題文に示した点と線分の配置ABCD
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答え：○

向かい合う角の和は 74°＋106°＝180° です。凸四角形で向かい合う角の和が180°なら、4つの頂点は同じ円周上にあります。

問3

凸四角形 ABCD で、∠DAB＝83°、∠BCD＝98° です。4つの頂点は同じ円周上にありますか。○または×で答えなさい。
問題文に示した点と線分の配置ABCD
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答え：×

向かい合う角の和は 83°＋98°＝181° で、180°ではありません。したがって、4つの頂点は同じ円周上にありません。

問4

点 C と点 D は直線 AB の同じ側にあります。∠ACB＝46°、∠ADB＝46° のとき、4点 A、B、C、D が同じ円周上にあるといえる理由を、定理の名前を使って説明しなさい。
問題文に示した点と線分の配置ABCD
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答え：円周角の定理の逆による。

線分 AB を見込む2つの角 ∠ACB と ∠ADB が等しく、C、D は直線 AB の同じ側にあります。よって、円周角の定理の逆により、4点は同じ円周上にあります。

問5

円 O の周上に点 A、B、C があります。点 C を含まない弧 AB に対する中心角 ∠AOB が116°のとき、∠ACB の大きさを求めなさい。
問題文に示した点と線分の配置ABCO
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答え：58°

同じ弧に対する円周角は中心角の半分なので、∠ACB＝116°÷2＝58° です。

問6

AB は円の直径で、C は円周上の点です。∠BAC＝34° のとき、∠ABC の大きさを求めなさい。
問題文に示した点と線分の配置ABC
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答え：56°

直径に対する円周角より、∠ACB＝90° です。三角形の内角の和より、∠ABC＝180°−90°−34°＝56° となります。

問7

四角形 ABCD は円に内接しています。∠DAB＝72°、∠ABC＝105° のとき、x＝∠BCD、y＝∠CDA の大きさをそれぞれ求めなさい。
問題文に示した点と線分の配置ABCD
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答え：x＝108°、y＝75°

円に内接する四角形では、向かい合う角の和は180°です。したがって、x＝180°−72°＝108°、y＝180°−105°＝75° です。

問8

円の2本の弦 AB と CD が円の内部の点 E で交わっています。AE＝3 cm、EB＝8 cm、CE＝4 cm のとき、DE の長さを求めなさい。
問題文に示した点と線分の配置ABCDE
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答え：6 cm

△AEC と △DEB において、∠AEC＝∠DEB（対頂角）、∠ACE＝∠DBE（弧 AD に対する円周角）なので、2つの三角形は相似です。よって AE：DE＝CE：BE から、3：DE＝4：8。したがって DE＝3×8÷4＝6 cm です。

問9

AB は円の直径で、C は円周上の点です。AB＝13 cm、AC＝5 cm のとき、BC の長さを求めなさい。
問題文に示した点と線分の配置ABC
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答え：12 cm

直径に対する円周角より、∠ACB＝90° です。三平方の定理から、BC²＝AB²−AC²＝13²−5²＝169−25＝144。長さは正なので、BC＝12 cm です。

問10

次の四角形のうち、4つの頂点が必ず同じ円周上にあるものを、すべて選びなさい。

ア：長方形　　イ：ひし形　　ウ：正方形　　エ：平行四辺形

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答え：ア、ウ

長方形と正方形は、向かい合う角の和が90°＋90°＝180°なので、必ず円に内接します。ひし形や平行四辺形は、例えば内角が60°、120°、60°、120°の場合、向かい合う角の和が180°にならないため、必ず円に内接するとはいえません。