数学検定3級

数理技能　第3回

問1
次の図で，点Oは円の中心です。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(62^\circ\)
\(\angle x\) は弧ABに対する円周角，\(\angle \mathrm{AOB}\) は同じ弧に対する中心角です。
円周角は中心角の半分なので，\(\angle x = 124^\circ \div 2 = 62^\circ\)
問2
次の図で，点Oは円の中心です。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(130^\circ\)
\(\angle \mathrm{APB} = 115^\circ\) は，点Pをふくまない側の弧ABに対する円周角です。
この弧に対する中心角は \(115^\circ \times 2 = 230^\circ\)
よって，\(\angle x = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ\)
問3
次の図で，線分ABは円Oの直径です。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(56^\circ\)
半円の弧に対する円周角は \(90^\circ\) なので，\(\angle \mathrm{ACB} = 90^\circ\)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の内角の和より，\(\angle x = 180^\circ - (90^\circ + 34^\circ) = 56^\circ\)
問4
次の図で，4点A，B，C，Dは円周上にあり，線分ACとBDの交点をEとします。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(78^\circ\)
弧ADに対する円周角は等しいので，\(\angle \mathrm{ACD} = \angle \mathrm{ABD} = 30^\circ\)
\(\angle x\) は \(\triangle \mathrm{ECD}\) の頂点Eにおける外角なので，
\(\angle x = \angle \mathrm{ECD} + \angle \mathrm{EDC} = 30^\circ + 48^\circ = 78^\circ\)
問5
次の図で，4点A，B，C，Dは円周上にあり，直線BAとCDの交点をPとします。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(45^\circ\)
弧ADに対する円周角は等しいので，\(\angle \mathrm{ABD} = \angle \mathrm{ACD} = 25^\circ\)
\(\angle \mathrm{BDC}\) は \(\triangle \mathrm{PBD}\) の頂点Dにおける外角なので，
\(\angle \mathrm{BDC} = \angle \mathrm{PBD} + \angle x\)　より　\(70^\circ = 25^\circ + \angle x\)
よって，\(\angle x = 45^\circ\)
問6
次の図で，点Oは円の中心です。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(66^\circ\)
\(\mathrm{OB} = \mathrm{OC}\)（半径）より，\(\triangle \mathrm{OBC}\) は二等辺三角形なので，\(\angle \mathrm{OCB} = 24^\circ\)
\(\angle \mathrm{BOC} = 180^\circ - 24^\circ \times 2 = 132^\circ\)
\(\angle x\) は弧BCに対する円周角なので，\(\angle x = 132^\circ \div 2 = 66^\circ\)
問7
次の図で，点A～Jは円周を10等分する点です。線分AEとBHの交点をXとするとき，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(72^\circ\)
円周の \(\dfrac{1}{10}\) の弧に対する中心角は \(360^\circ \div 10 = 36^\circ\)，円周角は \(18^\circ\) です。
\(\angle \mathrm{AEB}\) は弧AB（1つ分）に対する円周角なので \(18^\circ\)
\(\angle \mathrm{HBE}\) は弧EH（3つ分）に対する円周角なので \(18^\circ \times 3 = 54^\circ\)
\(\angle x\) は \(\triangle \mathrm{XBE}\) の頂点Xにおける外角なので，\(\angle x = 54^\circ + 18^\circ = 72^\circ\)
問8
次の図で，線分ABは円Oの直径です。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(58^\circ\)
弧BCに対する円周角は等しいので，\(\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{BDC} = 32^\circ\)
ABは直径なので，\(\angle \mathrm{ACB} = 90^\circ\)
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の内角の和より，\(\angle x = 180^\circ - (90^\circ + 32^\circ) = 58^\circ\)
問9
次の図で，点Oは円の中心，直線PA，PBはそれぞれ点A，Bで円に接しています。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(65^\circ\)
円の接線は接点を通る半径に垂直なので，\(\angle \mathrm{OAP} = \angle \mathrm{OBP} = 90^\circ\)
四角形OAPBの内角の和は \(360^\circ\) なので，
\(\angle \mathrm{AOB} = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 50^\circ) = 130^\circ\)
\(\angle x\) は弧ABに対する円周角なので，\(\angle x = 130^\circ \div 2 = 65^\circ\)
問10
次の図で，4点A，B，C，Dは円周上にあり，線分ACとBDの交点をEとします。\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
▼ 解答・解説
答え　\(67^\circ\)
弧CDに対する円周角は等しいので，\(\angle \mathrm{DBC} = \angle \mathrm{DAC} = 38^\circ\)
弧ABに対する円周角は等しいので，\(\angle \mathrm{ACB} = \angle \mathrm{ADB} = \angle x\)
\(\angle \mathrm{AEB}\) は \(\triangle \mathrm{EBC}\) の頂点Eにおける外角なので，
\(105^\circ = 38^\circ + \angle x\)　よって，\(\angle x = 67^\circ\)