問1下の図の \(\triangle \mathrm{ABC}\) で，\(\mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC}\) です。\(\mathrm{AD}=6\,\mathrm{cm}\)，\(\mathrm{DB}=4\,\mathrm{cm}\)，\(\mathrm{AE}=9\,\mathrm{cm}\) のとき，線分 \(\mathrm{EC}\) の長さを求めなさい。
\(\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}\) なので，\(\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{AE}:\mathrm{EC}\) が成り立ちます。
\(\mathrm{EC}=x\,\mathrm{cm}\) とすると，\(6:4=9:x\) より \(6x=36\) よって \(x=6\)
問2下の図の \(\triangle \mathrm{ABC}\) で，\(\mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC}\) です。\(\mathrm{AD}=4\,\mathrm{cm}\)，\(\mathrm{DB}=6\,\mathrm{cm}\)，\(\mathrm{DE}=6\,\mathrm{cm}\) のとき，辺 \(\mathrm{BC}\) の長さを求めなさい。
\(\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}\) より \(\triangle\mathrm{ADE}\sim\triangle\mathrm{ABC}\) なので，\(\mathrm{AD}:\mathrm{AB}=\mathrm{DE}:\mathrm{BC}\) です。
\(\mathrm{AB}=4+6=10\,(\mathrm{cm})\)，\(\mathrm{BC}=x\,\mathrm{cm}\) とすると，
\(4:10=6:x\) より \(4x=60\) よって \(x=15\)
問3下の図で，直線 \(\ell,\ m,\ n\) は平行です。\(x\) の値を求めなさい。
平行線にはさまれた線分の比は等しいので，\(8:12=6:x\) が成り立ちます。
\(8x=72\) よって \(x=9\)
問4下の図の四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は，\(\mathrm{AD}\parallel\mathrm{BC}\) の台形です。点 \(\mathrm{M},\ \mathrm{N}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{AB},\ \mathrm{DC}\) の中点です。\(\mathrm{AD}=6\,\mathrm{cm}\)，\(\mathrm{BC}=14\,\mathrm{cm}\) のとき，線分 \(\mathrm{MN}\) の長さを求めなさい。
対角線 \(\mathrm{AC}\) をひき，\(\mathrm{MN}\) との交点を \(\mathrm{P}\) とします。
\(\triangle\mathrm{ABC}\) で，中点連結定理より \(\mathrm{MP}=\dfrac{1}{2}\mathrm{BC}=\dfrac{1}{2}\times14=7\,(\mathrm{cm})\)
\(\triangle\mathrm{CDA}\) で，中点連結定理より \(\mathrm{PN}=\dfrac{1}{2}\mathrm{AD}=\dfrac{1}{2}\times6=3\,(\mathrm{cm})\)
よって \(\mathrm{MN}=7+3=10\,(\mathrm{cm})\)
問5下の図で，\(\ell\parallel m\) のとき，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
※図は正確とはかぎりません。
\(\angle x\) の頂点を通り，\(\ell\) に平行な直線をひきます。
平行線の錯角は等しいので，\(\angle x\) はこの直線によって \(38^\circ\) と \(47^\circ\) に分けられます。
よって \(\angle x=38^\circ+47^\circ=85^\circ\)
問6下の図の四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は平行四辺形で，\(\angle\mathrm{ABC}=70^\circ\) です。\(\angle\mathrm{BAD}\) の二等分線と辺 \(\mathrm{BC}\) との交点を \(\mathrm{E}\) とするとき，\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
※図は正確とはかぎりません。
平行四辺形のとなり合う角の和は \(180^\circ\) なので \(\angle\mathrm{BAD}=180^\circ-70^\circ=110^\circ\)
\(\mathrm{AE}\) は \(\angle\mathrm{BAD}\) の二等分線なので \(\angle\mathrm{DAE}=110^\circ\div2=55^\circ\)
\(\mathrm{AD}\parallel\mathrm{BC}\) より，錯角は等しいので \(\angle\mathrm{AEB}=\angle\mathrm{DAE}=55^\circ\)
よって \(\angle x=180^\circ-55^\circ=125^\circ\)
問7下の図で，\(\mathrm{AB}\parallel\mathrm{CD}\) であり，線分 \(\mathrm{AD}\) と \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{O}\) とします。\(x\) の値を求めなさい。
\(\mathrm{AB}\parallel\mathrm{CD}\) より，錯角が等しいので \(\angle\mathrm{OAB}=\angle\mathrm{ODC}\)，\(\angle\mathrm{OBA}=\angle\mathrm{OCD}\)
2組の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\mathrm{OAB}\sim\triangle\mathrm{ODC}\)
\(\mathrm{AO}:\mathrm{DO}=\mathrm{AB}:\mathrm{DC}\) より \(4:x=6:9\)
\(6x=36\) よって \(x=6\)
問8下の図の四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は，\(\mathrm{AD}\parallel\mathrm{BC}\) の台形で，対角線 \(\mathrm{AC}\) と \(\mathrm{BD}\) の交点を \(\mathrm{O}\) とします。\(\mathrm{AD}=4\,\mathrm{cm}\)，\(\mathrm{BC}=6\,\mathrm{cm}\)，\(\triangle\mathrm{AOD}\) の面積が \(8\,\mathrm{cm}^2\) のとき，台形 \(\mathrm{ABCD}\) の面積を求めなさい。
\(\mathrm{AD}\parallel\mathrm{BC}\) より \(\triangle\mathrm{AOD}\sim\triangle\mathrm{COB}\) で，相似比は \(4:6=2:3\) です。
面積比は \(2^2:3^2=4:9\) なので \(\triangle\mathrm{COB}=8\times\dfrac{9}{4}=18\,(\mathrm{cm}^2)\)
また，\(\mathrm{DO}:\mathrm{OB}=2:3\) なので，高さが共通な \(\triangle\mathrm{AOD}\) と \(\triangle\mathrm{AOB}\) の面積比も \(2:3\) です。
\(\triangle\mathrm{AOB}=8\times\dfrac{3}{2}=12\,(\mathrm{cm}^2)\) 同様に \(\triangle\mathrm{DOC}=12\,(\mathrm{cm}^2)\)
よって \(8+12+12+18=50\,(\mathrm{cm}^2)\)
問9下の図の \(\triangle\mathrm{ABC}\) で，\(\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}\)，\(\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=2:3\) です。\(\triangle\mathrm{ADE}\) の面積が \(8\,\mathrm{cm}^2\) のとき，四角形 \(\mathrm{DBCE}\) の面積を求めなさい。
\(\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}\) より \(\triangle\mathrm{ADE}\sim\triangle\mathrm{ABC}\) で，相似比は \(\mathrm{AD}:\mathrm{AB}=2:(2+3)=2:5\) です。
面積比は \(2^2:5^2=4:25\) なので \(\triangle\mathrm{ABC}=8\times\dfrac{25}{4}=50\,(\mathrm{cm}^2)\)
よって，四角形 \(\mathrm{DBCE}=50-8=42\,(\mathrm{cm}^2)\)
問10下の図の \(\triangle\mathrm{ABC}\) で，点 \(\mathrm{D},\ \mathrm{E}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{AB},\ \mathrm{AC}\) 上の点です。次の（ア）～（ウ）のうち，\(\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}\) となるものを1つ選び，記号で答えなさい。
\(\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{AE}:\mathrm{EC}\) が成り立てば \(\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}\) です。
（ア）\(\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=3:2\)，\(\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=4:3\) → 等しくない
（イ）\(\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=4:6=2:3\)，\(\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=6:9=2:3\) → 等しい
（ウ）\(\mathrm{DB}=8-5=3\)，\(\mathrm{EC}=10-6=4\) より，\(\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=5:3\)，\(\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=6:4=3:2\) → 等しくない
よって，\(\mathrm{DE}\parallel\mathrm{BC}\) となるのは（イ）です。