数学検定3級
数理技能 第2回
全10問｜平行線・線分の比・面積比
図は位置関係を示したもので、長さや角度の比率は正確とは限りません。
問1
△ABCで、M、Nはそれぞれ辺AB、ACの中点です。BC＝18 cmのとき、MNの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：9 cm
MN＝18 × 12＝9（cm）
問2
△ABCで、Mは辺ABの中点、D、Eは辺BCを3等分する点です（B、D、E、Cの順）。AEとCMの交点をFとします。MD＝6 cmのとき、AFの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：9 cm
△CMDと△CFEは相似で、CD：CE＝2：1より、MD：FE＝2：1。よってFE＝3 cmです。
AF＝AE−FE＝12−3＝9（cm）
問3
△ABCで、AD＝DE＝EB、AF＝FCです。BFとECの交点をGとします。GC＝12 cmのとき、DFの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：8 cm
△BDFと△BEGは相似で、BD：BE＝2：1より、DF：EG＝2：1。DF＝x cmとすると、EG＝x2 cmです。
GC＝EC−EG＝2x−x2＝3x2＝12 より、x＝8。
問4
△ABCで、AD＝DE＝EB、BF＝FCです。AFとDCの交点をGとします。EF＝8 cmのとき、GCの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：12 cm
△ADGと△AEFは相似で、AD：AE＝1：2より、DG：EF＝1：2。よってDG＝4 cmです。
GC＝DC−DG＝16−4＝12（cm）
問5
△ABCで、D、EはそれぞれAB、ACの中点、FはBC上の点でBF：FC＝1：2です。CDとEFの交点をGとします。CG＝8 cmのとき、GDの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：6 cm
△DGEと△CGFは相似です。したがってGD：GC＝DE：FC＝3：4。
GD＝8 × 34＝6（cm）
問6
平行四辺形ABCDで、L、M、NはそれぞれAB、BC、CDの中点です。LM、ANと対角線BDの交点をそれぞれP、Qとします。BD＝24 cmのとき、PQの長さを求めなさい。
解答・解説
解答：10 cm
△ABCの中点連結定理よりLM ∥ AC。△ABOでLはABの中点なので、PはBOの中点です。よってBP＝6 cm。
△DNQと△BAQは相似で、DN：BA＝1：2より、DQ：BQ＝1：2。したがってBQ＝24 × 23＝16 cmです。
PQ＝BQ−BP＝16−6＝10（cm）
問7
△ABCで、D、EはそれぞれAB、ACの中点です。∠ADE＝65°、∠ACB＝45°のとき、∠BACの大きさを求めなさい。
解答・解説
解答：70°
三角形の内角の和は180°なので、∠BAC＝180°−65°−45°＝70°。
問8
四角形ABCDで、AB＝CDです。E、F、GはそれぞれAD、BC、BDの中点です。∠ABD＝40°、∠BDC＝70°のとき、∠GFEの大きさを求めなさい。
解答・解説
解答：15°
平行線の角の関係より、∠EGD＝40°です。また、∠DGF＝180°−∠BDC＝110°です。したがって∠EGF＝40°＋110°＝150°です。
底角は等しいので、∠GFE＝(180°−150°) ÷ 2＝15°。
問9
△ABCで、ADとBEは中線で、その交点をGとします。△ABCの面積が90 cm²のとき、△GBDの面積を求めなさい。
解答・解説
解答：15 cm²
Gは重心なので、AG：GD＝2：1、GD：AD＝1：3。△GBDと△ABDは、底辺をそれぞれGD、ADとすると高さが共通です。
△GBDの面積＝45 × 13＝15（cm²）
問10
平行四辺形ABCDで、E、FはそれぞれAD、BCの中点です。AF、CEと対角線BDの交点をそれぞれP、Qとします。△ABPと△CDQの面積の和は、平行四辺形ABCDの面積の何倍ですか。
解答・解説
解答：13倍
△ABPと△ABDは頂点AからBDへの高さが共通なので、△ABPの面積は△ABDの13、つまり平行四辺形全体の16です。△CDQも同じく全体の16です。
求める割合は 16＋16＝13（倍）です。