数学検定3級
数理技能 第1回
問1次の図で、\(\ell \parallel m\) のとき、\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え \(\angle x = 85^\circ\)
\(\angle x\) の頂点を通り、\(\ell\) に平行な直線を引きます。
平行線の錯角は等しいので、\(\angle x\) はその直線で \(38^\circ\) と \(47^\circ\) の2つの角に分けられます。
\[\angle x = 38^\circ + 47^\circ = 85^\circ\]
問2次の図で、\(\ell \parallel m\) のとき、\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え \(\angle x = 75^\circ\)
折れ曲がった2つの頂点を通り、それぞれ \(\ell\) に平行な直線を引きます。
\(80^\circ\) の角は、錯角により \(35^\circ\) と残りの角に分けられるので、残りの角は \(80^\circ - 35^\circ = 45^\circ\) です。
\(\angle x\) は、錯角により \(30^\circ\) と \(45^\circ\) に分けられるので、\[\angle x = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ\]
問3次の図で、\(\ell \parallel m\)、\(\triangle ABC\) は正三角形です。このとき、\(\angle x\) の大きさを求めなさい。
答え \(\angle x = 35^\circ\)
点Cを通り、\(\ell\) に平行な直線を引きます。
錯角は等しいので、\(\angle ACB\) はその直線で \(25^\circ\) と \(\angle x\) に分けられます。
正三角形の1つの角は \(60^\circ\) なので、\[25^\circ + \angle x = 60^\circ \qquad \angle x = 35^\circ\]
問4次の図で、\(DE \parallel BC\) のとき、\(x\) の値を求めなさい。
答え \(x = 15\)
\(DE \parallel BC\) より、\(\triangle ADE \sim \triangle ABC\) なので \(AD : AB = DE : BC\) です。
\(AB = 6 + 4 = 10\) (cm) より、\[6 : 10 = 9 : x \qquad 6x = 90 \qquad x = 15\]
問5次の図で、\(DE \parallel BC\) のとき、\(x\) の値を求めなさい。
答え \(x = 12\)
\(DE \parallel BC\) より、\(AD : DB = AE : EC\) です。\[8 : 6 = x : 9 \qquad 6x = 72 \qquad x = 12\]
問6次の図で、\(\ell \parallel m \parallel n\) のとき、\(x\) の値を求めなさい。
答え \(x = 9\)
平行な3つの直線に2つの直線が交わるとき、切り取られる線分の比は等しくなります。\[8 : 12 = 6 : x \qquad 8x = 72 \qquad x = 9\]
問7次の図の四角形ABCDは \(AD \parallel BC\) の台形で、点M、Nはそれぞれ辺AB、DCの中点です。このとき、\(x\) の値を求めなさい。
答え \(x = 10\)
対角線ACを引き、MNとの交点をPとします。
\(\triangle ABC\) で中点連結定理より \(MP = \dfrac{1}{2}BC = 7\) (cm)
\(\triangle CDA\) で中点連結定理より \(PN = \dfrac{1}{2}AD = 3\) (cm)
\[x = 7 + 3 = 10\]
問8次の図の四角形ABCDは \(AD \parallel EF \parallel BC\) の台形で、\(AE : EB = 3 : 2\) です。このとき、\(x\) の値を求めなさい。
答え \(x = 12\)
対角線ACを引き、EFとの交点をGとします。
\(\triangle ABC\) で \(EG \parallel BC\) より \(EG = 16 \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{48}{5}\) (cm)
\(\triangle CDA\) で \(GF \parallel AD\)、\(CF : CD = 2 : 5\) より \(GF = 6 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{5}\) (cm)
\[x = \frac{48}{5} + \frac{12}{5} = 12\]
問9次の図で、\(AB \parallel EF \parallel CD\) で、点Eは線分ADとBCの交点です。このとき、\(x\) の値を求めなさい。
答え \(x = 6\)
\(AB \parallel CD\) より \(\triangle EAB \sim \triangle EDC\) なので、\(BE : EC = AB : DC = 10 : 15 = 2 : 3\) です。
よって \(BE : BC = 2 : 5\)。
\(\triangle BCD\) で \(EF \parallel CD\) より \(EF : CD = BE : BC\) なので、\[x : 15 = 2 : 5 \qquad 5x = 30 \qquad x = 6\]
問10次の図の \(\triangle ABC\) で、\(BC = 10\) cm、ADは \(\angle BAC\) の二等分線です。このとき、\(x\) の値を求めなさい。
答え \(x = 6\)
点Cを通りDAに平行な直線を引き、BAの延長との交点をEとします。
平行線の同位角・錯角から \(\angle AEC = \angle ACE\) となるので、\(\triangle ACE\) は二等辺三角形で \(AE = AC = 6\) cm です。
\(AD \parallel EC\) より \(BD : DC = BA : AE = 9 : 6 = 3 : 2\)
\[x = 10 \times \frac{3}{5} = 6\]