数学検定3級
計算技能 第5回
二次関数の変域・変化の割合・増加量 ／ 全10問
各問の「▼ 解答・解説」をクリックすると、解答と解説が表示されます。
問1
関数 y = ax² について、x の変域が −13 ≤ x ≤ 12 のとき、y の変域は 0 ≤ y ≤ 2 です。a の値を求めなさい。
解答・解説
答え：a = 8
最大値が正なので a > 0 です。区間内で x の絶対値が最大になるのは x = 12 のときです。
したがって、a × 14 = 2 より、a = 8 です。
したがって、a × 14 = 2 より、a = 8 です。
問2
関数 y = ax² について、x の変域が −3 ≤ x ≤ 4 のとき、y の変域は b ≤ y ≤ 32 です。a の値を求めなさい。
解答・解説
答え：a = 2
最大値が正なので a > 0 です。x の絶対値が最大になる x = 4 のとき、y = 32 となります。
16a = 32 より、a = 2 です。
16a = 32 より、a = 2 です。
問3
関数 y = ax² について、x の変域が −3 ≤ x ≤ 4 のとき、y の変域は b ≤ y ≤ 32 です。b の値を求めなさい。
解答・解説
答え：b = 0
最大値が正なので a > 0 です。−3 ≤ x ≤ 4 は x = 0 を含みます。
x = 0 のとき y の最小値は 0 となるので、b = 0 です。
x = 0 のとき y の最小値は 0 となるので、b = 0 です。
問4
関数 y = −2x² について、x の変域が −2 ≤ x ≤ a のとき、y の変域は −50 ≤ y ≤ b です。a の値を求めなさい。
解答・解説
答え：a = 5
y = −50 となるのは、−2x² = −50、すなわち x = ±5 のときです。
区間の左端が −2 なので、x = −5 は含まれません。最小値が −50 になる右端は x = 5 です。よって、a = 5 です。
区間の左端が −2 なので、x = −5 は含まれません。最小値が −50 になる右端は x = 5 です。よって、a = 5 です。
問5
関数 y = −2x² について、x の変域が −2 ≤ x ≤ a のとき、y の変域は −50 ≤ y ≤ b です。b の値を求めなさい。
解答・解説
答え：b = 0
y の最小値が −50 になることから、右端は a = 5 と分かります。
−2 ≤ x ≤ 5 は x = 0 を含み、y = −2x² は常に 0 以下です。したがって最大値は 0 で、b = 0 です。
−2 ≤ x ≤ 5 は x = 0 を含み、y = −2x² は常に 0 以下です。したがって最大値は 0 で、b = 0 です。
問6
2つの関数 y = −2x² と y = ax + b（a > 0）は、x の変域が −1 ≤ x ≤ 3 のとき、y の変域が同じになります。a の値を求めなさい。
解答・解説
答え：a = 92
y = −2x² の変域は −18 ≤ y ≤ 0 です。
a > 0 なので、一次関数は x = −1 で最小、x = 3 で最大になります。
−a + b = −18、3a + b = 0 を引き算すると、4a = 18。よって a = 92 です。
a > 0 なので、一次関数は x = −1 で最小、x = 3 で最大になります。
−a + b = −18、3a + b = 0 を引き算すると、4a = 18。よって a = 92 です。
問7
2つの関数 y = −2x² と y = ax + b（a > 0）は、x の変域が −1 ≤ x ≤ 3 のとき、y の変域が同じになります。b の値を求めなさい。
解答・解説
答え：b = −272
二次関数の変域は −18 ≤ y ≤ 0 なので、−a + b = −18、3a + b = 0 です。
2式の差から a = 92。これを 3a + b = 0 に代入すると、b = −272 です。
2式の差から a = 92。これを 3a + b = 0 に代入すると、b = −272 です。
問8
関数 y = 3x² について、x の値が 1 から 4 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
解答・解説
答え：15
x = 1 のとき y = 3、x = 4 のとき y = 48 です。
変化の割合 = y の増加量x の増加量 = 48 − 34 − 1 = 453 = 15 です。
変化の割合 = y の増加量x の増加量 = 48 − 34 − 1 = 453 = 15 です。
問9
関数 y = 2x² について、x の値が 2 から 5 まで増加するときの y の増加量を求めなさい。
解答・解説
答え：42
x = 2 のとき y = 8、x = 5 のとき y = 50 です。
y の増加量は「後の値 − 前の値」なので、50 − 8 = 42 です。
y の増加量は「後の値 − 前の値」なので、50 − 8 = 42 です。
問10
関数 y = x² について、x の値が −5 から −2 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
解答・解説
答え：−7
x = −5 のとき y = 25、x = −2 のとき y = 4 です。
変化の割合 = 4 − 25−2 − (−5) = −213 = −7 です。
x は増加していますが、y は減少するので、変化の割合は負になります。
変化の割合 = 4 − 25−2 − (−5) = −213 = −7 です。
x は増加していますが、y は減少するので、変化の割合は負になります。