次の二次方程式を解きなさい。
かけて \(12\)、たして \(-7\) になる2数は \(-3\) と \(-4\) です。
\( (x-3)(x-4) = 0 \) より \( x = 3,\ 4 \)
次の二次方程式を解きなさい。
因数分解できないので、解の公式を使います。\( a=2,\ b=-5,\ c=1 \) より
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \]
\(x\) についての二次方程式 \( x^2 + ax - 15 = 0 \) の解の1つが \(3\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
\( x = 3 \) を代入すると \( 9 + 3a - 15 = 0 \)
\( 3a = 6 \) より \( a = 2 \)
上の問いの続きです。
この二次方程式のもう1つの解を求めなさい。
\( a = 2 \) より、方程式は \( x^2 + 2x - 15 = 0 \)
\( (x+5)(x-3) = 0 \) より \( x = -5,\ 3 \)
もう1つの解は \( x = -5 \) です。
\(x\) についての二次方程式 \( x^2 + ax + b = 0 \) の解が \(-2\) と \(6\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。
解が \(-2\) と \(6\) である二次方程式（\(x^2\) の係数が1）は
\( (x+2)(x-6) = 0 \) すなわち \( x^2 - 4x - 12 = 0 \)
係数を比べて \( a = -4 \)
上の問いの続きです。
\(b\) の値を求めなさい。
問5の \( x^2 - 4x - 12 = 0 \) と係数を比べて \( b = -12 \)
（別解）\(x=-2,\ 6\) をそれぞれ代入して連立方程式 \( 4 - 2a + b = 0,\ 36 + 6a + b = 0 \) を解いても求められます。
連続する2つの正の整数があり、それぞれを2乗した数の和は \(85\) です。小さいほうの整数を \(x\) として二次方程式をつくり、\( x^2 + px + q = 0 \) の形で表しなさい。
大きいほうの整数は \( x + 1 \) と表せるので
\( x^2 + (x+1)^2 = 85 \)
\( 2x^2 + 2x + 1 = 85 \) → \( 2x^2 + 2x - 84 = 0 \)
両辺を2でわって \( x^2 + x - 42 = 0 \)
上の問いの続きです。
この2つの正の整数を求めなさい。
\( x^2 + x - 42 = 0 \) より \( (x+7)(x-6) = 0 \) → \( x = -7,\ 6 \)
\(x\) は正の整数なので \( x = 6 \)
よって、2つの整数は \(6\) と \(7\)（確かめ：\(36 + 49 = 85\)）
下の図のように、縦 \(20\,\mathrm{m}\)、横 \(30\,\mathrm{m}\) の長方形の土地に、同じ幅の道を縦と横に1本ずつつくり、残りを花だんにします。花だんの面積が \(504\,\mathrm{m}^2\) になるとき、道の幅を \(x\,\mathrm{m}\) として二次方程式をつくり、\( x^2 + px + q = 0 \) の形で表しなさい。
道を端に寄せて考えると、花だんは縦 \( (20 - x)\,\mathrm{m} \)、横 \( (30 - x)\,\mathrm{m} \) の長方形と同じ面積になります。
\( (20 - x)(30 - x) = 504 \)
\( 600 - 50x + x^2 = 504 \) → \( x^2 - 50x + 96 = 0 \)
上の問いの続きです。
道の幅は何 m ですか。
\( x^2 - 50x + 96 = 0 \) より \( (x - 2)(x - 48) = 0 \) → \( x = 2,\ 48 \)
道の幅は土地の縦 \(20\,\mathrm{m}\) より短いので、\( 0 < x < 20 \)
よって \( x = 2 \)（\( x = 48 \) は問題に合わない）