数学検定3級
計算技能 第3回
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問1
次の式を展開しなさい。
\[(x+5)(x-3)\]
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解答・解説
答え
\(x^2+2x-15\)
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) を使います。
\(a=5,\ b=-3\) なので、\(a+b=2,\ ab=-15\)。
\[(x+5)(x-3)=x^2+2x-15\]
問2
次の式を展開しなさい。
\[(2a-3b)^2\]
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解答・解説
答え
\(4a^2-12ab+9b^2\)
\((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) で、\(x=2a,\ y=3b\) とみます。 \[(2a)^2-2\times 2a\times 3b+(3b)^2=4a^2-12ab+9b^2\]
問3
次の計算をしなさい。
\[(x+4)^2-(x+2)(x-6)\]
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解答・解説
答え
\(12x+28\)
それぞれ展開してからひきます。かっこの前の「−」に注意しましょう。 \[\begin{aligned} &(x^2+8x+16)-(x^2-4x-12)\\ &=x^2+8x+16-x^2+4x+12\\ &=12x+28 \end{aligned}\]
問4
次の式を因数分解しなさい。
\[x^2-7x+12\]
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解答・解説
答え
\((x-3)(x-4)\)
積が \(12\)、和が \(-7\) になる2数をさがします。
積が12の2数
\(-1,\,-12\)
\(-2,\,-6\)
\(-3,\,-4\)
和
\(-13\)
\(-8\)
\(-7\)
よって \(-3\) と \(-4\) なので、\(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\)
問5
次の式を因数分解しなさい。
\[3x^2-27\]
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解答・解説
答え
\(3(x+3)(x-3)\)
まず共通因数 \(3\) をくくり出し、次に \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) を使います。 \[3x^2-27=3(x^2-9)=3(x+3)(x-3)\]
問6
\(a=27\) のとき、次の式の値を求めなさい。
\[a^2-6a+9\]
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解答・解説
答え
\(576\)
そのまま代入するより、因数分解してから代入すると楽です。 \[a^2-6a+9=(a-3)^2=(27-3)^2=24^2=576\]
問7
72の約数は何個ありますか。
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解答・解説
答え
12個
積が72になる組をすべて書き出します。
1
2
3
4
6
8
72
36
24
18
12
9
6組なので、約数は \(6\times 2=12\) 個です。
（別解）\(72=2^3\times 3^2\) より、\((3+1)\times(2+1)=12\) 個
問8
180の約数は何個ありますか。
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解答・解説
答え
18個
積が180になる組を書き出します。
1
2
3
4
5
6
9
10
12
180
90
60
45
36
30
20
18
15
9組なので、約数は \(9\times 2=18\) 個です。
（別解）\(180=2^2\times 3^2\times 5\) より、\((2+1)\times(2+1)\times(1+1)=18\) 個
問9
150にできるだけ小さい自然数をかけて、ある数の2乗になるようにしたい。
どんな数をかけたらよいですか。
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解答・解説
答え
6
150を素因数分解します。 \[150=2\times 3\times 5^2\] 指数が奇数の \(2\) と \(3\) をそろえればよいので、\(2\times 3=6\) をかけます。 \[150\times 6=900=30^2\]
問10
108にできるだけ小さい自然数をかけて、ある数の2乗になるようにしたい。
どんな数をかけたらよいですか。
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解答・解説
答え
3
108を素因数分解します。 \[108=2^2\times 3^3\] \(3\) の指数が奇数なので、\(3\) をかけて \(3^4\) にします。 \[108\times 3=324=18^2\]