数学検定3級
計算技能 第3回
全10問・問題番号と順番は固定です。▼をクリックすると解答・解説を表示します。
問1
784 は、どんな整数の平方になっていますか。すべて答えなさい。
解答・解説
解答28 と −28
解説28²＝784、(−28)²＝784 です。正の整数だけでなく、負の整数の平方も正の数になります。
問2
180 にできるだけ小さい自然数をかけて、その積が自然数の平方になるようにします。かける自然数を求めなさい。
解答・解説
解答5
解説180＝2²×3²×5 と素因数分解できます。平方数では、素因数の指数がすべて偶数になります。5 をかけると、180×5＝2²×3²×5²＝30²＝900 となります。
問3
294 にできるだけ小さい自然数をかけて、その積が自然数の平方になるようにします。かける自然数を求めなさい。
解答・解説
解答6
解説294＝2×3×7² です。指数が奇数の素因数 2 と 3 を補うので、かける最小の自然数は 2×3＝6 です。294×6＝2²×3²×7²＝42²＝1764 となります。
問4
396 にできるだけ小さい自然数 a をかけて、その積が自然数の平方になるようにします。a の値を求めなさい。
解答・解説
解答a＝11
解説396＝2²×3²×11 です。11 をかけると素因数の指数がすべて偶数になります。396×11＝2²×3²×11²＝66²＝4356 より、a＝11 です。
問5
300 をできるだけ小さい自然数で割り、余りがなく、その商が自然数の平方になるようにします。割る自然数を求めなさい。
解答・解説
解答3
解説300＝2²×3×5² です。指数が奇数の素因数 3 を取り除くため、3 で割ります。300÷3＝2²×5²＝10²＝100 となるので、割る最小の自然数は 3 です。
問6
540 をできるだけ小さい自然数 n で割り、余りがなく、その商が自然数の平方になるようにします。n の値を求めなさい。
解答・解説
解答n＝15
解説540＝2²×3³×5 です。指数が奇数の素因数 3 と 5 をそれぞれ1個ずつ取り除きます。割る最小の自然数は 3×5＝15 です。540÷15＝2²×3²＝6²＝36 となります。
問7
88 の正の約数は何個ありますか。
解答・解説
解答8個
解説88＝2³×11 です。正の約数は 2ᵃ×11ᵇ と表せます。2 の指数は 0、1、2、3 の4通り、11 の指数は 0、1 の2通りなので、4×2＝8 個です。実際に並べると、1、2、4、8、11、22、44、88 です。
問8
180 の正の約数は何個ありますか。
解答・解説
解答18個
解説180＝2²×3²×5 です。2 の指数は 0～2 の3通り、3 の指数も 0～2 の3通り、5 の指数は 0～1 の2通りです。したがって、正の約数の個数は (2＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝18 個です。
問9
275 にできるだけ小さい自然数をかけて、その積が自然数の平方になるようにします。かける自然数を求めなさい。
解答・解説
解答11
解説275＝5²×11 です。11 をかけると、275×11＝5²×11²＝55²＝3025 となります。よって、かける最小の自然数は 11 です。
問10
156 にできるだけ小さい自然数をかけて、その積が自然数の平方になるようにします。かける自然数を求めなさい。
解答・解説
解答39
解説156＝2²×3×13 です。指数が奇数の素因数 3 と 13 を補います。かける最小の自然数は 3×13＝39 です。156×39＝2²×3²×13²＝78²＝6084 となります。