数学検定2級

【高校数学 B】 確率分布

問1
赤玉3個と白玉2個が入った袋から、同時に2個の玉を取り出す。取り出した赤玉の個数を \(X\) とするとき、\(X\) の確率分布を求めよ。また、\(X\) の期待値 \(E(X)\) を求めよ。
▼ 解答・解説

玉の取り出し方は全部で \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\) 通り。

\[ P(X=0)=\frac{{}_2\mathrm{C}_2}{10}=\frac{1}{10},\quad P(X=1)=\frac{{}_3\mathrm{C}_1\cdot{}_2\mathrm{C}_1}{10}=\frac{6}{10},\quad P(X=2)=\frac{{}_3\mathrm{C}_2}{10}=\frac{3}{10} \]
\(X\)012計
\(P\)\(\frac{1}{10}\)\(\frac{3}{5}\)\(\frac{3}{10}\)1
\[ E(X)=0\cdot\frac{1}{10}+1\cdot\frac{6}{10}+2\cdot\frac{3}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5} \]

答え　確率分布は上の表、\(E(X)=\dfrac{6}{5}\)

問2
問1の確率変数 \(X\) について、分散 \(V(X)\) と標準偏差 \(\sigma(X)\) を求めよ。
▼ 解答・解説

\(V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\) を用いる。

\[ E(X^2)=0^2\cdot\frac{1}{10}+1^2\cdot\frac{6}{10}+2^2\cdot\frac{3}{10}=\frac{18}{10}=\frac{9}{5} \] \[ V(X)=\frac{9}{5}-\left(\frac{6}{5}\right)^2=\frac{45}{25}-\frac{36}{25}=\frac{9}{25},\qquad \sigma(X)=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5} \]

答え　\(V(X)=\dfrac{9}{25}\)，\(\sigma(X)=\dfrac{3}{5}\)

問3
確率変数 \(X\) の期待値が \(4\)、分散が \(9\) であるとき、確率変数 \(Y=2X-3\) の期待値 \(E(Y)\)、分散 \(V(Y)\)、標準偏差 \(\sigma(Y)\) を求めよ。
▼ 解答・解説

\(a,\ b\) を定数とするとき、\(E(aX+b)=aE(X)+b\)，\(V(aX+b)=a^2V(X)\)，\(\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)\) が成り立つ。

\[ E(Y)=2\cdot 4-3=5,\qquad V(Y)=2^2\cdot 9=36,\qquad \sigma(Y)=\sqrt{36}=6 \]

答え　\(E(Y)=5\)，\(V(Y)=36\)，\(\sigma(Y)=6\)

問4
1個のさいころを1回投げたときに出る目を \(X\)、1枚の硬貨を2回投げたときに表が出る回数を \(Y\) とする。\(X\) と \(Y\) は互いに独立であるとして、次の値を求めよ。
(1)　\(E(XY)\)　　(2)　\(V(X+Y)\)
▼ 解答・解説

\(X\) について

\[ E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2},\quad E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6},\quad V(X)=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12} \]

\(Y\) は二項分布 \(B\!\left(2,\ \frac{1}{2}\right)\) に従うから

\[ E(Y)=2\cdot\frac{1}{2}=1,\qquad V(Y)=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \]

(1)　\(X,\ Y\) は独立なので \(E(XY)=E(X)E(Y)=\dfrac{7}{2}\cdot 1=\dfrac{7}{2}\)

(2)　\(X,\ Y\) は独立なので \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)=\dfrac{35}{12}+\dfrac{6}{12}=\dfrac{41}{12}\)

答え　(1) \(\dfrac{7}{2}\)　(2) \(\dfrac{41}{12}\)

問5
1個のさいころを180回投げるとき、1の目が出る回数を \(X\) とする。\(X\) の期待値 \(E(X)\)、分散 \(V(X)\)、標準偏差 \(\sigma(X)\) を求めよ。
▼ 解答・解説

\(X\) は二項分布 \(B\!\left(180,\ \frac{1}{6}\right)\) に従う。二項分布 \(B(n,\ p)\) では \(E(X)=np\)，\(V(X)=np(1-p)\) である。

\[ E(X)=180\cdot\frac{1}{6}=30,\qquad V(X)=180\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=25,\qquad \sigma(X)=\sqrt{25}=5 \]

答え　\(E(X)=30\)，\(V(X)=25\)，\(\sigma(X)=5\)

問6
当たる確率が \(\dfrac{1}{3}\) のくじを4回引く。ただし、引いたくじは毎回もとに戻すものとする。当たりが2回以上出る確率を求めよ。
▼ 解答・解説

当たりの回数を \(X\) とすると、\(X\) は二項分布 \(B\!\left(4,\ \frac{1}{3}\right)\) に従う。余事象（当たりが0回または1回）を考える。

\[ P(X=0)=\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{16}{81},\qquad P(X=1)={}_4\mathrm{C}_1\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{32}{81} \] \[ P(X\geqq 2)=1-\left(\frac{16}{81}+\frac{32}{81}\right)=1-\frac{48}{81}=\frac{33}{81}=\frac{11}{27} \]

答え　\(\dfrac{11}{27}\)

問7
連続型確率変数 \(X\) のとる値の範囲が \(0\leqq X\leqq 2\) で、その確率密度関数が \(f(x)=ax\)（\(a\) は定数）であるとき、次の値を求めよ。
(1)　定数 \(a\)　　(2)　\(P(1\leqq X\leqq 2)\)　　(3)　\(E(X)\)
▼ 解答・解説

(1)　全確率は1なので

\[ \int_0^2 ax\,dx=\left[\frac{a}{2}x^2\right]_0^2=2a=1 \qquad\therefore\ a=\frac{1}{2} \]

(2)　下の図の斜線部分の面積にあたる。

O 1 2 1 x y y = ½x
\[ P(1\leqq X\leqq 2)=\int_1^2 \frac{1}{2}x\,dx=\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]

(3)

\[ E(X)=\int_0^2 x\cdot\frac{1}{2}x\,dx=\left[\frac{x^3}{6}\right]_0^2=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \]

答え　(1) \(a=\dfrac{1}{2}\)　(2) \(\dfrac{3}{4}\)　(3) \(\dfrac{4}{3}\)

問8〜問10では、必要に応じて次の正規分布表を用いよ。
\(p(z)\) は標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従う \(Z\) について \(P(0\leqq Z\leqq z)\) を表す。

正規分布表（抜粋）
\(z\)0.51.01.52.02.53.0
\(p(z)\)0.19150.34130.43320.47720.49380.4987
問8
確率変数 \(X\) が正規分布 \(N(50,\ 10^2)\) に従うとき、確率 \(P(40\leqq X\leqq 65)\) を求めよ。
▼ 解答・解説

\(Z=\dfrac{X-50}{10}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0,\ 1)\) に従う。

\(X=40\) のとき \(Z=-1\)，\(X=65\) のとき \(Z=1.5\) であるから

\[ P(40\leqq X\leqq 65)=P(-1\leqq Z\leqq 1.5)=p(1)+p(1.5)=0.3413+0.4332=0.7745 \]

答え　\(0.7745\)

問9
ある高校の男子生徒500人の身長は、平均 170 cm、標準偏差 6 cm の正規分布に従うものとする。身長が 182 cm 以上の生徒はおよそ何人いると考えられるか。小数点以下を四捨五入して答えよ。
▼ 解答・解説

身長を \(X\) cm とすると \(X\) は \(N(170,\ 6^2)\) に従う。\(Z=\dfrac{X-170}{6}\) とおくと、\(X=182\) のとき \(Z=2\) である。

\[ P(X\geqq 182)=P(Z\geqq 2)=0.5-p(2)=0.5-0.4772=0.0228 \]
\[ 500\times 0.0228=11.4 \]

答え　およそ 11 人

問10
1個のさいころを720回投げるとき、1の目が出る回数を \(X\) とする。\(X\) が 100 以上 130 以下となる確率を、正規分布で近似して求めよ。
▼ 解答・解説

\(X\) は二項分布 \(B\!\left(720,\ \frac{1}{6}\right)\) に従うから

\[ E(X)=720\cdot\frac{1}{6}=120,\qquad \sigma(X)=\sqrt{720\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}}=\sqrt{100}=10 \]

試行回数 720 は十分大きいので、\(X\) は近似的に正規分布 \(N(120,\ 10^2)\) に従う。\(Z=\dfrac{X-120}{10}\) とおくと

\[ P(100\leqq X\leqq 130)=P(-2\leqq Z\leqq 1)=p(2)+p(1)=0.4772+0.3413=0.8185 \]

答え　\(0.8185\)