数学検定2級

【高校数学 B】 確率分布

全10問 · 問題番号・順番は固定

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No.1　確率分布をつくる

赤いカード2枚と青いカード4枚の計6枚を、無作為に横一列に並べる。2枚の赤いカードの間にある青いカードの枚数を X とする。

X の確率分布を表で示せ。

解答・解説
解答
X01234
確率515415315215115
解説
赤いカードが置かれる2か所の選び方は ₆C₂ = 15 通りで、同様に確からしい。X = k となるには赤いカードの位置の差が k + 1 であればよい。左側の赤いカードの位置は 5 − k 通りなので、P(X = k) = 5 − k15　(k = 0, 1, 2, 3, 4)。

No.2　期待値

赤いカード2枚と青いカード4枚の計6枚を、無作為に横一列に並べる。2枚の赤いカードの間にある青いカードの枚数を X とする。

X の期待値を求めよ。

解答・解説
解答
E(X) = 43
解説
X01234
確率515415315215115

期待値は「値×その確率」の総和である。

E(X) = 0×5 + 1×4 + 2×3 + 3×2 + 4×115 = 2015 = 43

No.3　分散

赤いカード2枚と青いカード4枚の計6枚を、無作為に横一列に並べる。2枚の赤いカードの間にある青いカードの枚数を X とする。

X の分散を求めよ。

解答・解説
解答
V(X) = 149
解説
X01234
確率515415315215115

E(X) = 43、E(X²) = 0²×5 + 1²×4 + 2²×3 + 3²×2 + 4²×115 = 103。

V(X) = E(X²) − {E(X)}² = 103 − (43)² = 149

No.4　文字を用いた確率分布

赤いカード2枚と青いカード n 枚（n は正の整数）を、無作為に横一列に並べる。2枚の赤いカードの間にある青いカードの枚数を X とする。

P(X = k) を n, k で表せ。ただし k = 0, 1, …, n とする。

解答・解説
解答
P(X = k) = 2(n + 1 − k)(n + 1)(n + 2)
解説
赤いカードの位置の選び方は (n + 2)(n + 1)2 通り。間の枚数が k になる位置の組は n + 1 − k 通りである。したがって、この通り数を全体の通り数で割ればよい。

No.5　文字を用いた期待値

赤いカード2枚と青いカード n 枚（n は正の整数）を、無作為に横一列に並べる。2枚の赤いカードの間にある青いカードの枚数を X とする。

E(X) を n で表せ。

解答・解説
解答
E(X) = n3
解説
赤いカード2枚により、青いカードは「左側」「赤2枚の間」「右側」の3領域に分かれる。各領域の枚数を A, X, B とすると、A + X + B = n。

各非負整数の組 (A, X, B) は赤いカードの位置の組に一対一に対応し、同様に確からしい。3領域は対称なので期待値は等しく、

3E(X) = n より E(X) = n3。

No.6　円形の座席と確率分布

円形のテーブルの周りに、等間隔に10個の席がある。2人が異なる席に無作為に座る。2人の間にある席の数を円周の両方向で数え、その小さい方を X とする。両方向で等しいときは、その数を X とする。

X の確率分布を表で示せ。

解答・解説
解答
X01234
確率2929292919
解説
1人目の席を固定すると、2人目が座る席は残り9席で同様に確からしい。X = 0, 1, 2, 3 となる席は左右に各1席、計2席ずつある。X = 4 となる席は正反対の1席だけである。

No.7　円形の座席と期待値

円形のテーブルの周りに、等間隔に10個の席がある。2人が異なる席に無作為に座る。2人の間にある席の数を円周の両方向で数え、その小さい方を X とする。両方向で等しいときは、その数を X とする。

X の期待値を求めよ。

解答・解説
解答
E(X) = 169
解説
X01234
確率2929292919

1人目の席から見て、X = 0, 1, 2, 3 は各2通り、X = 4 は1通りである。

E(X) = 0×2 + 1×2 + 2×2 + 3×2 + 4×19 = 169

No.8　円形の座席と分散

円形のテーブルの周りに、等間隔に10個の席がある。2人が異なる席に無作為に座る。2人の間にある席の数を円周の両方向で数え、その小さい方を X とする。両方向で等しいときは、その数を X とする。

X の分散を求めよ。

解答・解説
解答
V(X) = 14081
解説
X01234
確率2929292919

E(X) = 169、E(X²) = 0²×2 + 1²×2 + 2²×2 + 3²×2 + 4²×19 = 449。

V(X) = 449 − (169)² = 14081

No.9　取り出した数の最大値

1から5までの整数を1つずつ書いた5枚のカードから、同時に2枚を無作為に取り出す。2枚に書かれた数の大きい方を X とする。

X の期待値と分散を求めよ。

解答・解説
解答
E(X) = 4，　V(X) = 1
解説
X2345
確率110210310410

2枚の選び方は ₅C₂ = 10 通り。最大値が k となるには、もう1枚を1から k − 1 までから選ぶので k − 1 通りある。

E(X) = 2×1 + 3×2 + 4×3 + 5×410 = 4

E(X²) = 2²×1 + 3²×2 + 4²×3 + 5²×410 = 17 より、V(X) = 17 − 4² = 1。

No.10　確率変数の変換

1から6までの整数を1つずつ書いた6枚のカードから、同時に2枚を無作為に取り出す。2枚に書かれた数の小さい方を X とし、得点を Y = 3X − 2 とする。

Y の期待値と分散を求めよ。

解答・解説
解答
E(Y) = 5，　V(Y) = 14
解説
X12345
確率515415315215115

全体は ₆C₂ = 15 通り。最小値が k となる組は、もう1枚を k + 1 から6までから選ぶ 6 − k 通り。

E(X) = 1×5 + 2×4 + 3×3 + 4×2 + 5×115 = 73

E(X²) = 1²×5 + 2²×4 + 3²×3 + 4²×2 + 5²×115 = 7 より、V(X) = 7 − (73)² = 149。

期待値と分散の変換公式を使うと、

E(Y) = 3E(X) − 2 = 5

V(Y) = 3²V(X) = 14。定数を加減しても分散は変わらない。