第5項が \(17\)、第12項が \(38\) である等差数列 \(\{a_n\}\) について、次の問いに答えなさい。
(1) 一般項 \(a_n\) を求めなさい。
(2) 初めて \(100\) より大きくなるのは第何項か答えなさい。
初項を \(a\)、公差を \(d\) とすると
\[ a + 4d = 17,\qquad a + 11d = 38 \]辺々引いて \(7d = 21\) より \(d = 3\)、よって \(a = 5\)。
\[ a_n = 5 + (n-1)\cdot 3 = 3n + 2 \](2) \(3n + 2 > 100\) より \(n > \dfrac{98}{3} = 32.6\cdots\)。これを満たす最小の自然数は \(n = 33\)（\(a_{33} = 101\)）。
初項 \(50\)、公差 \(-4\) の等差数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とします。\(S_n\) が最大となる \(n\) の値と、そのときの \(S_n\) の値を求めなさい。
▼ 解答・解説一般項は \(a_n = 50 + (n-1)(-4) = 54 - 4n\)。
\(a_n > 0\) となるのは \(54 - 4n > 0\) すなわち \(n < 13.5\) のときです。
\(a_{13} = 2 > 0,\ a_{14} = -2 < 0\) なので、正の項をすべて加えた \(S_{13}\) が最大となります。
第2項が \(6\)、第5項が \(-162\) である等比数列 \(\{a_n\}\) について、次の問いに答えなさい。ただし、公比は実数とします。
(1) 一般項 \(a_n\) を求めなさい。
(2) 初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) を求めなさい。
初項を \(a\)、公比を \(r\) とすると \(ar = 6,\ ar^4 = -162\)。
辺々割って \(r^3 = -27\)。\(r\) は実数なので \(r = -3\)、よって \(a = -2\)。
\[ a_n = -2\cdot(-3)^{n-1} \](2) 公比 \(r \neq 1\) なので
\[ S_n = \frac{-2\{1 - (-3)^n\}}{1 - (-3)} = \frac{(-3)^n - 1}{2} \]3つの数 \(a,\ b,\ c\)（\(a < b < c\)）がこの順に等差数列をなし、その和が \(15\)、積が \(80\) であるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めなさい。
▼ 解答・解説公差を \(d\) として、3数を \(b - d,\ b,\ b + d\) とおくと、和について
\[ (b-d) + b + (b+d) = 3b = 15 \quad\Longrightarrow\quad b = 5 \]積について
\[ (5-d)\cdot 5\cdot(5+d) = 80 \quad\Longrightarrow\quad 25 - d^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad d = \pm 3 \]\(a < b < c\) より \(d > 0\) なので \(d = 3\)。よって \(a = 2,\ b = 5,\ c = 8\)。
次の和を求めなさい。
\[ \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)(k + 1) \] ▼ 解答・解説\((2k-1)(k+1) = 2k^2 + k - 1\) なので
\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}(2k^2 + k - 1) &= 2\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1) - n \\ &= \frac{1}{6}n\,\{\,2(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 6\,\} \\ &= \frac{1}{6}n\,(4n^2 + 9n - 1) \end{aligned} \]（確認：\(n = 1\) のとき \(1\cdot 2 = 2\)、式に代入して \(\dfrac{1}{6}\cdot 12 = 2\)）
次の和を求めなさい。
\[ \frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \] ▼ 解答・解説部分分数に分解すると
\[ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) \]これを \(k = 1\) から \(n\) まで加えると、隣り合う項が打ち消し合うので
\[ \begin{aligned} &\frac{1}{2}\left\{\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)\right\} \\ &= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1} \end{aligned} \]次の数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めなさい。
\[ 1,\ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \cdots \] ▼ 解答・解説階差数列 \(\{b_n\}\)（\(b_n = a_{n+1} - a_n\)）を調べます。
| \(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(a_n\) | 1 | 2 | 5 | 10 | 17 | 26 |
| \(b_n\) | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
\(\{b_n\}\) は初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列なので \(b_n = 2n - 1\)。
\(n \geqq 2\) のとき
\(n = 1\) のとき \(1 - 2 + 2 = 1 = a_1\) となり、この式は \(n = 1\) でも成り立ちます。
数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) が
\[ S_n = 2n^2 + 3n + 1 \]で表されるとき、一般項 \(a_n\) を求めなさい。
▼ 解答・解説\(a_1 = S_1 = 2 + 3 + 1 = 6\)
\(n \geqq 2\) のとき
\[ a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3n + 1) - \{2(n-1)^2 + 3(n-1) + 1\} = 4n + 1 \]\(4n + 1\) に \(n = 1\) を代入すると \(5\) となり \(a_1 = 6\) と一致しないので、\(n = 1\) の場合を分けて答えます。
（\(S_n\) に定数項があるときは、このように初項だけ別になります。）
次の条件によって定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めなさい。
\[ a_1 = 5,\qquad a_{n+1} = 3a_n - 4 \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] ▼ 解答・解説\(\alpha = 3\alpha - 4\) を解くと \(\alpha = 2\)。漸化式は次のように変形できます。
\[ a_{n+1} - 2 = 3\,(a_n - 2) \]数列 \(\{a_n - 2\}\) は初項 \(a_1 - 2 = 3\)、公比 \(3\) の等比数列なので
\[ a_n - 2 = 3\cdot 3^{n-1} = 3^n \quad\Longrightarrow\quad a_n = 3^n + 2 \]（確認：\(a_2 = 3\cdot 5 - 4 = 11 = 3^2 + 2\)）
自然数の列を、次のように第 \(n\) 群が \(n\) 個の数を含むように区切ります。
(1) 第 \(n\) 群の最初の数を \(n\) の式で表しなさい。
(2) \(100\) は第何群の何番目の数か答えなさい。
(1) 第1群から第 \((n-1)\) 群までに含まれる数の個数は
\[ 1 + 2 + \cdots + (n-1) = \frac{1}{2}n(n-1) \]よって第 \(n\) 群の最初の数は \(\dfrac{1}{2}n(n-1) + 1\)（\(n = 1\) のときも成り立つ）。
(2) 第 \(n\) 群の最後の数は \(\dfrac{1}{2}n(n+1)\) です。
\[ \frac{1}{2}\cdot 13\cdot 14 = 91,\qquad \frac{1}{2}\cdot 14\cdot 15 = 105 \]\(91 < 100 \leqq 105\) なので \(100\) は第14群に含まれます。第14群の最初の数は \(92\) なので、\(100 - 92 + 1 = 9\) 番目です。