数学検定2級
【高校数学 B】 数列
全10問・問題番号と順番は固定です。各問の▼をクリックすると解答・解説を表示します。
No.1等差数列の一般項と和
等差数列 {an} について、a3＝11、a8＝31 である。一般項 an と、初項から第20項までの和 S20 を求めなさい。
解答・解説
【解答】 an＝4n−1、S20＝820
【解説】
初項を a、公差を d とすると、a＋2d＝11、a＋7d＝31。差をとると 5d＝20 より d＝4、a＝3 となる。
したがって an＝3＋4(n−1)＝4n−1。
a20＝79 より、S20＝20(3＋79)2＝820。
No.2等比数列の一般項と和
公比が正の等比数列 {an} について、a2＝6、a5＝162 である。一般項 an と、初項から第6項までの和 S6 を求めなさい。
解答・解説
【解答】 an＝2・3n−1、S6＝728
【解説】
初項を a、公比を r とすると ar＝6、ar4＝162。割り算により r3＝27 なので r＝3、a＝2。
よって an＝2・3n−1。等比数列の和の公式より、S6＝2(36−1)3−1＝728。
No.3等差・等比の条件
互いに異なる3つの実数 a、b、2ab がこの順に等比数列となり、2ab、a、b がこの順に等差数列となる。a、b の値を求めなさい。
解答・解説
【解答】 a＝−1、b＝2
【解説】
等比数列の条件から b2＝a・2ab＝2a2b。b＝0 なら 2ab＝0 となり、互いに異なるという条件に反する。よって b≠0 なので b＝2a2。同様に a≠0。
等差数列の条件から 2a＝2ab＋b。代入して 2a＝4a3＋2a2。2a で割ると 2a2＋a−1＝0、すなわち (2a−1)(a＋1)＝0。
a＝12 のとき b＝12 で不適。a＝−1 のとき b＝2 で、3数は −1、2、−4 と互いに異なる。並べ替えた −4、−1、2 の公差は3である。
No.4数列の積
初項と公比がともに実数 x の等比数列 {an} と、初項と公差がともに実数 y の等差数列 {bn} がある。cn＝anbn とする。c1＝12、c4＝384 のとき、x＋y を求めなさい。
解答・解説
【解答】 x＋y＝8
【解説】
an＝xn、bn＝ny だから cn＝nyxn。条件より xy＝12、4yx4＝384。
xy≠0 なので、2式を割ると 4x3＝32。x は実数だから x＝2。よって y＝6、x＋y＝8。
No.5毎年初めの積立て
年利4％、1年ごとの複利で、毎年度初めに10万円ずつ5年間積み立てる。5年度末の元利合計はいくらか。税金・手数料は考えず、1.045＝1.21665 として計算し、1円未満を四捨五入しなさい。
解答・解説
【解答】 563,290円
【解説】
初年度初めの10万円には5年分、最後の年度初めの10万円には1年分の利息が付く。したがって元利合計は
100000(1.04＋1.042＋⋯＋1.045)等比数列の和より、100000×1.04(1.045−1)1.04−1＝2600000×0.21665＝563290（円）年度初めの積立てなので、最後の積立金にも1年分の利息が付く。
No.6毎年末の積立て
年利2％、1年ごとの複利で、毎年度末に20万円ずつ6年間積み立てる。6回目の積立て直後の元利合計はいくらか。税金・手数料は考えず、1.026＝1.12616 として計算しなさい。
解答・解説
【解答】 1,261,600円
【解説】
最初の積立金には5年分の利息が付き、6回目の積立金にはまだ利息が付かない。
元利合計は、200000(1＋1.02＋⋯＋1.025)＝200000×1.026−11.02−1＝10000000×0.12616＝1261600（円）
No.7和が基準を超える項数
初項が2、公比が3の等比数列について、初項から第 n 項までの和が100000を超える最小の自然数 n を求めなさい。
解答・解説
【解答】 n＝11
【解説】
和は Sn＝2(3n−1)3−1＝3n−1。
310＝59049、311＝177147 なので、S10＝59048≦100000、S11＝177146＞100000。
各項が正で和は単調に増加するから、求める最小の n は11。
No.8常用対数を用いる項数の判定
初項が3、公比が2の等比数列について、初項から第 n 項までの和が3000000を超える最小の自然数 n を求めなさい。ただし、log10 2＝0.3010 とし、必要なら 219＝524288、220＝1048576 を用いてよい。
解答・解説
【解答】 n＝20
【解説】
Sn＝3(2n−1) より、条件は 2n＞1000001。
まず 2n＞1000000 を考えると、常用対数をとって 0.3010n＞6。19×0.3010＝5.7190、20×0.3010＝6.0200 なので、候補は n＝20。
元の条件で確かめると、S19＝1572861、S20＝3145725。和は単調に増加するので、最小の n は20。
No.9等差数列と等比数列の積の和
次の和を求めなさい。S＝1＋2・2＋3・22＋⋯＋10・29
解答・解説
【解答】 S＝9217
【解説】
S と 2S を項をそろえて引く。
2S＝2＋2・22＋⋯＋9・29＋10・210したがって、S＝10・210−(1＋2＋22＋⋯＋29)括弧内は 210−12−1＝1023。よって S＝10240−1023＝9217。
No.10漸化式と等比数列
数列 {an} が a1＝2、an+1＝3an＋4（n＝1, 2, 3, …）で定められる。一般項 an と、初項から第 n 項までの和 Sn を求めなさい。
解答・解説
【解答】 an＝4・3n−1−2
Sn＝2(3n−1)−2n
【解説】
漸化式を an+1＋2＝3(an＋2) と変形する。bn＝an＋2 とおくと、b1＝4、公比3の等比数列になる。
よって bn＝4・3n−1 なので、an＝4・3n−1−2。
初項から第 n 項まで加えると、Sn＝4・3n−13−1−2n＝2(3n−1)−2n