数学検定2級

【高校数学 B】 空間ベクトル

問1
3点 \(\mathrm{A}(1,\,2,\,3)\)，\(\mathrm{B}(3,\,-1,\,4)\)，\(\mathrm{C}(2,\,0,\,-1)\) がある。次の問いに答えなさい。
(1) \(\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\) を求めなさい。
(2) 内積 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を求めなさい。
▼ 解答・解説

解説
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3-1,\,-1-2,\,4-3)=(2,\,-3,\,1)\)， \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2-1,\,0-2,\,-1-3)=(1,\,-2,\,-4)\)

(1) \(\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}\)

(2) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\cdot1+(-3)\cdot(-2)+1\cdot(-4)=2+6-4=4\)

答え　(1) \(\sqrt{14}\)　(2) \(4\)

問2
2つのベクトル \(\vec{a}=(2,\,1,\,-1)\)，\(\vec{b}=(-1,\,1,\,2)\) のなす角 \(\theta\) を求めなさい。ただし，\(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ\) とします。
▼ 解答・解説

解説
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot(-1)+1\cdot1+(-1)\cdot2=-3\)
\(|\vec{a}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)，\(|\vec{b}|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\)

\[\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-3}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=-\frac{1}{2}\]

\(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ\) より，\(\theta=120^\circ\)

答え　\(\theta=120^\circ\)

問3
2つのベクトル \(\vec{a}=(2,\,-1,\,3)\)，\(\vec{b}=(x,\,2,\,y)\) が平行であるとき，\(x,\ y\) の値を求めなさい。
▼ 解答・解説

解説
\(\vec{a}\parallel\vec{b}\) より，\(\vec{b}=k\vec{a}\)（\(k\) は実数）と表せるので

\[(x,\,2,\,y)=(2k,\,-k,\,3k)\]

\(y\) 成分から \(-k=2\) より \(k=-2\)
よって，\(x=2\cdot(-2)=-4\)，\(y=3\cdot(-2)=-6\)

答え　\(x=-4,\ y=-6\)

問4
2つのベクトル \(\vec{a}=(1,\,1,\,0)\)，\(\vec{b}=(0,\,1,\,1)\) の両方に垂直な単位ベクトルを求めなさい。
▼ 解答・解説

解説
求めるベクトルを \(\vec{e}=(x,\,y,\,z)\) とします。

\(\vec{a}\cdot\vec{e}=0\) より \(x+y=0\)　…①
\(\vec{b}\cdot\vec{e}=0\) より \(y+z=0\)　…②
\(|\vec{e}|=1\) より \(x^2+y^2+z^2=1\)　…③

①，② より \(y=-x\)，\(z=x\)。これを ③ に代入して

\[x^2+x^2+x^2=1\quad\text{より}\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\]

答え　\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\,-\frac{1}{\sqrt{3}},\,\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\ \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\,\frac{1}{\sqrt{3}},\,-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

問5
3点 \(\mathrm{A}(1,\,0,\,0)\)，\(\mathrm{B}(0,\,2,\,0)\)，\(\mathrm{C}(0,\,0,\,3)\) を頂点とする \(\triangle\mathrm{ABC}\) の面積 \(S\) を求めなさい。
▼ 解答・解説

解説
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,\,2,\,0)\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\,0,\,3)\)

\(\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|^2=1+4+0=5\)， \(\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|^2=1+0+9=10\)， \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=1+0+0=1\)

\[S=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|^2\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|^2-\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)^2} =\frac{1}{2}\sqrt{5\cdot10-1^2}=\frac{1}{2}\sqrt{49}=\frac{7}{2}\]

答え　\(\displaystyle S=\frac{7}{2}\)

問6
4点 \(\mathrm{A}(1,\,1,\,0)\)，\(\mathrm{B}(3,\,2,\,1)\)，\(\mathrm{C}(2,\,0,\,3)\)，\(\mathrm{P}(x,\,4,\,-1)\) が同じ平面上にあるとき，\(x\) の値を求めなさい。
▼ 解答・解説

解説
点 \(\mathrm{P}\) が平面 \(\mathrm{ABC}\) 上にあるとき，実数 \(s,\ t\) を用いて \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) と表せます。

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\,1,\,1)\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,\,-1,\,3)\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x-1,\,3,\,-1)\) より

\[(x-1,\,3,\,-1)=(2s+t,\ s-t,\ s+3t)\]

\(y\) 成分：\(s-t=3\)，\(z\) 成分：\(s+3t=-1\)
これを解いて \(t=-1,\ s=2\)
\(x\) 成分：\(x-1=2\cdot2+(-1)=3\) より \(x=4\)

答え　\(x=4\)

問7
2点 \(\mathrm{A}(2,\,-1,\,3)\)，\(\mathrm{B}(-4,\,5,\,0)\) について，次の点の座標を求めなさい。
(1) 線分 \(\mathrm{AB}\) を \(1:2\) に内分する点 \(\mathrm{P}\)
(2) 線分 \(\mathrm{AB}\) を \(2:1\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\)
▼ 解答・解説

解説

(1) \(\displaystyle \mathrm{P}=\frac{2\mathrm{A}+1\cdot\mathrm{B}}{1+2}\) より

\[\left(\frac{4-4}{3},\ \frac{-2+5}{3},\ \frac{6+0}{3}\right)=(0,\,1,\,2)\]

(2) \(\displaystyle \mathrm{Q}=\frac{-1\cdot\mathrm{A}+2\mathrm{B}}{2-1}\) より

\[\left(-2-8,\ 1+10,\ -3+0\right)=(-10,\,11,\,-3)\]

答え　(1) \(\mathrm{P}(0,\,1,\,2)\)　(2) \(\mathrm{Q}(-10,\,11,\,-3)\)

問8
2点 \(\mathrm{A}(1,\,-2,\,3)\)，\(\mathrm{B}(3,\,2,\,-1)\) を通る直線 \(\mathrm{AB}\) と \(xy\) 平面との交点の座標を求めなさい。
▼ 解答・解説

解説
直線 \(\mathrm{AB}\) 上の点を \(\mathrm{P}\) とすると，実数 \(t\) を用いて \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と表せます。

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\,4,\,-4)\) より

\[\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1+2t,\ -2+4t,\ 3-4t)\]

\(xy\) 平面上の点は \(z=0\) なので，\(3-4t=0\) より \(\displaystyle t=\frac{3}{4}\)
このとき \(\displaystyle x=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)，\(y=-2+3=1\)

答え　\(\displaystyle \left(\frac{5}{2},\,1,\,0\right)\)

問9
2点 \(\mathrm{A}(3,\,-1,\,2)\)，\(\mathrm{B}(1,\,3,\,-4)\) を直径の両端とする球について，次の問いに答えなさい。
(1) この球の方程式を求めなさい。
(2) この球と \(xy\) 平面が交わってできる円の中心の座標と半径を求めなさい。
▼ 解答・解説

解説

(1) 中心は線分 \(\mathrm{AB}\) の中点で \(\displaystyle \left(\frac{3+1}{2},\ \frac{-1+3}{2},\ \frac{2-4}{2}\right)=(2,\,1,\,-1)\)
\(\mathrm{AB}=\sqrt{(-2)^2+4^2+(-6)^2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\) より，半径は \(\sqrt{14}\)

\[(x-2)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=14\]

(2) \(z=0\) を代入すると

\[(x-2)^2+(y-1)^2+1=14\quad\text{より}\quad (x-2)^2+(y-1)^2=13\]

よって，中心 \((2,\,1,\,0)\)，半径 \(\sqrt{13}\) の円です。

答え　(1) \((x-2)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=14\)　(2) 中心 \((2,\,1,\,0)\)，半径 \(\sqrt{13}\)

問10
四面体 \(\mathrm{OABC}\) において，\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}\) とします。 辺 \(\mathrm{OA}\) を \(2:1\) に内分する点を \(\mathrm{P}\)，辺 \(\mathrm{BC}\) の中点を \(\mathrm{Q}\)，線分 \(\mathrm{PQ}\) の中点を \(\mathrm{R}\) とし， 直線 \(\mathrm{OR}\) と平面 \(\mathrm{ABC}\) の交点を \(\mathrm{S}\) とします。次の問いに答えなさい。
(1) \(\overrightarrow{\mathrm{OR}}\) を \(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}\) を用いて表しなさい。
(2) \(\overrightarrow{\mathrm{OS}}\) を \(\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}\) を用いて表しなさい。
O A B C P Q R S
▼ 解答・解説

解説

(1) \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2}{3}\vec{a}\)，\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\) より

\[\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}}{2} =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\right) =\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}\]

(2) 点 \(\mathrm{S}\) は直線 \(\mathrm{OR}\) 上にあるので，実数 \(k\) を用いて

\[\overrightarrow{\mathrm{OS}}=k\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{k}{3}\vec{a}+\frac{k}{4}\vec{b}+\frac{k}{4}\vec{c}\]

点 \(\mathrm{S}\) は平面 \(\mathrm{ABC}\) 上にあるので，係数の和が \(1\) になります。

\[\frac{k}{3}+\frac{k}{4}+\frac{k}{4}=1\quad\text{より}\quad \frac{5}{6}k=1,\quad k=\frac{6}{5}\]

よって \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{3}{10}\vec{b}+\frac{3}{10}\vec{c}\)

答え　(1) \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}\)　 (2) \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{3}{10}\vec{b}+\frac{3}{10}\vec{c}\)