数学検定2級
【高校数学 B】 空間ベクトル
全10問 ／ 問題番号・順番は固定
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問1
原点 O と2点 A(1, 2, −1)，B(3, 1, 1) がある。OA = a，AB = d とするとき、a + td と d が垂直になるように、実数 t の値を求めなさい。
解答・解説
解答：t = 29
d = (2, −1, 2) である。垂直になる条件は内積が0になることである。
(a + td)・d = a・d + t|d|² = 0
−2 + 9t = 0
これを解くと、t = 29。問2
2つのベクトル a = (1, −2, 2)，b = (2, 1, 2) のなす角 θ（0° ≤ θ ≤ 180°） について、cos θ の値を求めなさい。
解答・解説
解答：cos θ = 49
a・b = 1×2 + (−2)×1 + 2×2 = 4
|a| = √(1 + 4 + 4) = 3， |b| = √(4 + 1 + 4) = 3
cos θ = a・b|a||b| = 49
問3
空間内の定点 A(0, 2, 1)，B(√3, 1, 1) と、z 軸上の動点 P(0, 0, p) がある。∠APB = θ とするとき、θ の最大値と、そのときの p の値を求めなさい。
解答・解説
解答：最大値 60°，そのとき p = 1
u = (1 − p)² ≥ 0 とおく。
PA = (0, 2, 1 − p)， PB = (√3, 1, 1 − p)
cos θ = 2 + u4 + u = 1 − 24 + u
この式は u ≥ 0 で u = 0 のとき最小となり、最小値は 12。0° ≤ θ ≤ 180° では cos θ が小さいほど θ は大きい。したがって、p = 1 のとき最大値 60° をとる。問4
4点 A(1, 0, 1)，B(3, 1, 2)，C(1, 2, 3)，P(5, 3, k) が同じ平面上にあるように、実数 k の値を求めなさい。
解答・解説
解答：k = 4
AB = (2, 1, 1)，AC = (0, 2, 2) は平行ではない。同一平面上の条件から、実数 s, t を用いて
AP = sAB + tAC
(4, 3, k − 1) = (2s, s + 2t, s + 2t)
第1成分から s = 2、第2成分から t = 12。第3成分から k − 1 = 3 なので、k = 4。問5
3点 A(2, 0, 0)，B(0, 3, 0)，C(0, 0, 6) を通る平面を α とする。原点 O から平面 α に下ろした垂線の足 H の座標を求めなさい。
解答・解説
解答：H(97, 67, 37)
平面 α の方程式は
x2 + y3 + z6 = 1，すなわち 3x + 2y + z = 6
法線ベクトル（平面に垂直なベクトル）は (3, 2, 1) なので、H(3t, 2t, t) とおける。H は平面上にあるから9t + 4t + t = 6， t = 37
よって、H(97, 67, 37)。問6
3点 A(2, 0, 0)，B(0, 3, 0)，C(0, 0, 6) を頂点とする三角形 ABC の面積を求めなさい。
解答・解説
解答：3√14
AB = (−2, 3, 0)， AC = (−2, 0, 6)
|AB|² = 13， |AC|² = 40， AB・AC = 4
2辺のなす角を θ とすると、sin²θ = 1 − cos²θ より、面積 S はS = 12√(|AB|²|AC|² − (AB・AC)²)
= 12√(13×40 − 16) = 12√504 = 3√14
問7
2点 A(1, −2, 3)，B(7, 4, −3) に対し、線分 AB を 2 : 1 に内分する点 P と、2 : 1 に外分する点 Q の座標を求めなさい。
解答・解説
解答：P(5, 2, −1)，Q(13, 10, −9)
内分点は AP : PB = 2 : 1 なので、
OP = OA + 2OB3 = (5, 2, −1)
外分点は AQ : QB = 2 : 1 なので、OQ = −OA + 2OB2 − 1 = (13, 10, −9)
外分点 Q は、A から B へ進んだ先にある。問8
a = (1, 2, −1)，b = (2, −1, 2) とする。実数 t が動くとき、|a + tb| の最小値と、そのときの t の値を求めなさい。
解答・解説
解答：最小値 5√23，そのとき t = 29
|a + tb|² = |a|² + 2t(a・b) + t²|b|²
= 6 − 4t + 9t² = 9(t − 29)² + 509
大きさは0以上なので、その2乗が最小になるとき大きさも最小となる。よって、t = 29 のとき、最小値は √509 = 5√23。問9
四面体 OABC において、辺 AB を AP : PB = 2 : 1 に内分する点を P、辺 OC の中点を Q とする。線分 PQ を PR : RQ = 3 : 2 に内分する点 R について、OR を OA，OB，OC で表しなさい。
解答・解説
解答：OR = 215OA + 415OB + 310OC
OP = 13OA + 23OB， OQ = 12OC
R は PQ を 3 : 2 に内分するからOR = 25OP + 35OQ
代入して整理すると、OR = 215OA + 415OB + 310OC
問10
3点 A(3, 0, 0)，B(0, 3, 0)，C(0, 0, 3) を通る平面と、2点 D(1, 0, 0)，E(2, 1, 2) を通る直線との交点 P の座標を求めなさい。
解答・解説
解答：P(32, 12, 1)
平面 ABC の方程式は x + y + z = 3。直線 DE 上の点は実数 t を使って
OP = OD + tDE = (1 + t, t, 2t)
と表せる。これを平面の方程式に代入すると(1 + t) + t + 2t = 3， t = 12
よって、P(32, 12, 1)。