\(\vec{a}=(2,\,-1)\)，\(\vec{b}=(-1,\,3)\) のとき，次の問いに答えなさい。
(1) \(2\vec{a}+3\vec{b}\) を成分で表し，その大きさを求めなさい。
(2) \(2\vec{a}+3\vec{b}\) と同じ向きの単位ベクトルを求めなさい。
答 (1) \((1,\,7)\)，大きさ \(5\sqrt{2}\) (2) \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{10},\,\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\right)\)
(1) \(2\vec{a}+3\vec{b}=(4,\,-2)+(-3,\,9)=(1,\,7)\)
\(|2\vec{a}+3\vec{b}|=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)
(2) 大きさで割って \(\dfrac{1}{5\sqrt{2}}(1,\,7)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{10},\,\dfrac{7\sqrt{2}}{10}\right)\)
\(\triangle\mathrm{OAB}\) において，\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\) とします。線分 AB を \(2:1\) に内分する点を P，\(1:3\) に外分する点を Q とするとき，\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) をそれぞれ \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) を用いて表しなさい。
答 \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}\)， \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{3}{2}\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}\)
\(m:n\) に内分する点は \(\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}\) なので
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1\cdot\vec{a}+2\vec{b}}{2+1}=\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{3}\vec{b}\)
\(m:n\) に外分する点は \(\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}\) なので
\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{-3\vec{a}+1\cdot\vec{b}}{1-3}=\dfrac{3}{2}\vec{a}-\dfrac{1}{2}\vec{b}\)
1辺の長さが 1 の正六角形 ABCDEF において，\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\vec{b}\) とします。
(1) \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AE}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{CE}}\) を \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) を用いて表しなさい。
(2) 内積 \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AE}}\) の値を求めなさい。
答 (1) \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\vec{a}+\vec{b}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{a}+2\vec{b}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{CE}}=-\vec{a}+\vec{b}\) (2) \(\dfrac{3}{2}\)
(1) 正六角形の中心を O とすると \(\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\vec{a}+\vec{b}\) で，\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{FE}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}\) です。
\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{a}+(\vec{a}+\vec{b})=2\vec{a}+\vec{b}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}+\overrightarrow{\mathrm{FE}}=\vec{b}+(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}+2\vec{b}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\vec{a}+\vec{b}\)
(2) \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) のなす角は \(120^\circ\) なので \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot1\cdot\cos120^\circ=-\dfrac{1}{2}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(2\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})=2|\vec{a}|^2+5\,\vec{a}\cdot\vec{b}+2|\vec{b}|^2=2-\dfrac{5}{2}+2=\dfrac{3}{2}\)
\(|\vec{a}|=2\)，\(|\vec{b}|=3\)，\(|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{7}\) のとき，次の問いに答えなさい。
(1) 内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) の値を求めなさい。
(2) \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) のなす角 \(\theta\)（\(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ\)）を求めなさい。
(3) \(|2\vec{a}-\vec{b}|\) の値を求めなさい。
答 (1) \(-3\) (2) \(\theta=120^\circ\) (3) \(\sqrt{37}\)
(1) \(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\) より \(7=4+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+9\) よって \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-3\)
(2) \(\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{-3}{2\cdot3}=-\dfrac{1}{2}\) よって \(\theta=120^\circ\)
(3) \(|2\vec{a}-\vec{b}|^2=4|\vec{a}|^2-4\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=16+12+9=37\) よって \(|2\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{37}\)
2つのベクトル \(\vec{a}=(x,\,2)\)，\(\vec{b}=(3,\,x+1)\) について，次の問いに答えなさい。
(1) \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が平行となるような \(x\) の値をすべて求めなさい。
(2) \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が垂直となるような \(x\) の値を求めなさい。
答 (1) \(x=2,\ -3\) (2) \(x=-\dfrac{2}{5}\)
(1) \(\vec{a}=(a_1,a_2)\)，\(\vec{b}=(b_1,b_2)\) が平行 \(\iff a_1b_2-a_2b_1=0\)
\(x(x+1)-2\cdot3=0\) \(x^2+x-6=0\) \((x-2)(x+3)=0\) よって \(x=2,\ -3\)
（どちらも \(\vec{a}\neq\vec{0}\)，\(\vec{b}\neq\vec{0}\) を満たします。）
(2) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) より \(3x+2(x+1)=0\) \(5x+2=0\) よって \(x=-\dfrac{2}{5}\)
\(\vec{a}=(3,\,1)\)，\(\vec{b}=(1,\,-2)\) とし，\(t\) を実数とします。
(1) \(\vec{a}+t\vec{b}\) と \(\vec{a}-\vec{b}\) が垂直となるような \(t\) の値を求めなさい。
(2) \(|\vec{a}+t\vec{b}|\) の最小値と，そのときの \(t\) の値を求めなさい。
答 (1) \(t=\dfrac{9}{4}\) (2) \(t=-\dfrac{1}{5}\) のとき最小値 \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\)
(1) \(\vec{a}+t\vec{b}=(3+t,\,1-2t)\)，\(\vec{a}-\vec{b}=(2,\,3)\)
内積が 0 なので \(2(3+t)+3(1-2t)=0\) \(9-4t=0\) よって \(t=\dfrac{9}{4}\)
(2) \(|\vec{a}|^2=10\)，\(|\vec{b}|^2=5\)，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3-2=1\) より
\(|\vec{a}+t\vec{b}|^2=5t^2+2t+10=5\left(t+\dfrac{1}{5}\right)^2+\dfrac{49}{5}\)
\(t=-\dfrac{1}{5}\) のとき最小値 \(\dfrac{49}{5}\) をとるので，\(|\vec{a}+t\vec{b}|\) の最小値は \(\sqrt{\dfrac{49}{5}}=\dfrac{7}{\sqrt{5}}=\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\)
座標平面上に 3 点 A\((1,\,2)\)，B\((4,\,3)\)，C\((2,\,6)\) があります。\(\triangle\mathrm{ABC}\) の面積を求めなさい。
答 \(\dfrac{11}{2}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,\,1)\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,\,4)\)
\(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2=10\)，\(|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2=17\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=3+4=7\)
\(S=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}})^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{170-49}=\dfrac{1}{2}\sqrt{121}=\dfrac{11}{2}\)
（別解）成分を用いた公式 \(S=\dfrac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|=\dfrac{1}{2}|3\cdot4-1\cdot1|=\dfrac{11}{2}\)
\(\triangle\mathrm{OAB}\) において，辺 OA を \(2:1\) に内分する点を C，辺 OB を \(3:2\) に内分する点を D とし，線分 AD と線分 BC の交点を P とします。\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\) とするとき，次の問いに答えなさい。
(1) \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) を用いて表しなさい。
(2) 直線 OP と辺 AB の交点を Q とするとき，\(\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}\) を求めなさい。
答 (1) \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{4}{9}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}\) (2) \(\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=3:4\)
(1) \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\dfrac{2}{3}\vec{a}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{3}{5}\vec{b}\)
P は AD 上にあるので，\(\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)\) とおくと \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec{a}+\dfrac{3}{5}s\,\vec{b}\)
P は BC 上にあるので，\(\mathrm{CP}:\mathrm{PB}=t:(1-t)\) とおくと \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{2}{3}(1-t)\vec{a}+t\,\vec{b}\)
\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) は一次独立なので係数を比較して
\(1-s=\dfrac{2}{3}(1-t)\)，\(\dfrac{3}{5}s=t\)
これを解くと \(s=\dfrac{5}{9}\)，\(t=\dfrac{1}{3}\) よって \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{4}{9}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}\)
(2) Q は直線 OP 上にあるので \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{4}{9}k\,\vec{a}+\dfrac{3}{9}k\,\vec{b}\)
Q は AB 上にあるので係数の和が 1：\(\dfrac{4}{9}k+\dfrac{3}{9}k=1\) より \(k=\dfrac{9}{7}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{4}{7}\vec{a}+\dfrac{3}{7}\vec{b}=\dfrac{4\vec{a}+3\vec{b}}{3+4}\) よって Q は AB を \(3:4\) に内分し，\(\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=3:4\)
\(\triangle\mathrm{ABC}\) と点 P が \(3\overrightarrow{\mathrm{PA}}+4\overrightarrow{\mathrm{PB}}+5\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\vec{0}\) を満たしています。
(1) \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) を \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)，\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を用いて表しなさい。
(2) 直線 AP と辺 BC の交点を D とするとき，\(\mathrm{BD}:\mathrm{DC}\) と \(\mathrm{AP}:\mathrm{PD}\) を求めなさい。
(3) \(\triangle\mathrm{PBC}:\triangle\mathrm{PCA}:\triangle\mathrm{PAB}\) を求めなさい。
答 (1) \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{4\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{12}\) (2) \(\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=5:4\)，\(\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=3:1\) (3) \(3:4:5\)
(1) 始点を A にそろえると
\(-3\overrightarrow{\mathrm{AP}}+4(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})+5(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})=\vec{0}\)
\(12\overrightarrow{\mathrm{AP}}=4\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) よって \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{4\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{12}\)
(2) \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{9}{12}\cdot\dfrac{4\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{9}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{5+4}\)
\(\dfrac{4\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{5+4}\) は BC を \(5:4\) に内分する点 D を表すので \(\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=5:4\)
また \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\) より \(\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=3:1\)
(3) \(\triangle\mathrm{ABC}\) の面積を \(S\) とすると
\(\triangle\mathrm{PBC}=\dfrac{1}{4}S\)
\(\triangle\mathrm{PCA}=\dfrac{3}{4}\triangle\mathrm{ADC}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{9}S=\dfrac{1}{3}S\)
\(\triangle\mathrm{PAB}=\dfrac{3}{4}\triangle\mathrm{ABD}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{9}S=\dfrac{5}{12}S\)
よって \(\dfrac{3}{12}S:\dfrac{4}{12}S:\dfrac{5}{12}S=3:4:5\)
次の直線の方程式を求めなさい。
(1) 点 A\((1,\,2)\) を通り，ベクトル \(\vec{n}=(3,\,-1)\) に垂直な直線
(2) 点 B\((-1,\,3)\) を通り，ベクトル \(\vec{d}=(2,\,1)\) に平行な直線を媒介変数 \(t\) を用いて表し，さらに \(t\) を消去した式
答 (1) \(3x-y-1=0\) (2) \(\begin{cases}x=-1+2t\\ y=3+t\end{cases}\)，\(x-2y+7=0\)
(1) 直線上の点を P\((x,\,y)\) とすると \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0\) より
\(3(x-1)-1\cdot(y-2)=0\) よって \(3x-y-1=0\)
(2) 直線上の点を P\((x,\,y)\) とすると \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\vec{d}\) より
\((x,\,y)=(-1,\,3)+t(2,\,1)\) すなわち \(x=-1+2t\)，\(y=3+t\)
第2式より \(t=y-3\)，これを第1式に代入して \(x=-1+2(y-3)\) よって \(x-2y+7=0\)