問1ベクトルの計算
a＝(2, −3)，b＝(−1, 4) とする。2a−3b を求めよ。
解答・解説
解答(7, −18)
解説成分ごとに計算する。
2a−3b＝(4, −6)−(−3, 12)＝(7, −18)
数学検定2級
【高校数学 B】 平面ベクトル
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問2逆向きのベクトルと内積
∠A＝90°，AB＝6，AC＝8 の三角形ABCにおいて、AB・BA を求めよ。
解答・解説
解答−36
解説BA＝−AB なので、
AB・BA＝−|AB|²＝−6²＝−36
内積の符号に注意する。辺ACの長さはこの計算には使わない。問3内積となす角
|a|＝3，|b|＝4，a と b のなす角が120°のとき、a・b を求めよ。
解答・解説
解答−6
解説内積の公式 a・b＝|a||b|cos θ を用いる。
a・b＝3×4×cos120°＝12×(−12)＝−6
問4和のベクトルの大きさ
|a|＝2，|b|＝3，a・b＝1 のとき、|a＋b| を求めよ。
解答・解説
解答√15
解説大きさの2乗を展開する。
|a＋b|²＝|a|²＋2a・b＋|b|²＝4＋2＋9＝15
大きさは非負だから、|a＋b|＝√15。問5成分からなす角を求める
a＝(1, 1)，b＝(√3＋1, √3−1) のなす角 θ（0°≦θ≦180°）を求めよ。
解答・解説
解答30°
解説a・b＝(√3＋1)＋(√3−1)＝2√3。
|a|＝√2，|b|＝√((√3＋1)²＋(√3−1)²)＝2√2
cos θ＝2√3√2×2√2＝√32
0°≦θ≦180° より、θ＝30°。問6垂直になる条件
a＝(x−2, 3)，b＝(2, x＋1) が垂直になるように、実数 x の値を求めよ。
解答・解説
解答x＝15
解説どちらも零ベクトルではないので、垂直条件は a・b＝0。
2(x−2)＋3(x＋1)＝0
5x−1＝0 より、x＝15。
問7垂直な単位ベクトル
a＝(3, −4) に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ。
解答・解説
解答(45, 35)，(−45, −35)
解説求めるベクトルを (u, v) とおくと、3u−4v＝0。よって (u, v)＝(4k, 3k) と表せる。
大きさが1なので、16k²＋9k²＝1。したがって k＝±15。
この2つの値を代入して、解答の2本を得る。問8三角形の面積
3点 A(−1, 1)，B(4, 0)，C(2, 5) を頂点とする三角形ABCの面積 S を求めよ。
解答・解説
解答S＝232
解説AB＝(5, −1)，AC＝(3, 4) だから、
|AB|²＝26，|AC|²＝25，AB・AC＝11。
S＝12√(|AB|²|AC|²−(AB・AC)²)
＝12√(26×25−11²)＝12√529＝232
これは S＝12|AB||AC|sin∠BAC と、sin²θ＝1−cos²θ から得られる。問9内積を利用した係数の決定
|a|＝2，|b|＝3，a・b＝1 とする。a＋tb と 2a−b が垂直になるように、実数 t の値を求めよ。
解答・解説
解答t＝1
解説内積を展開して0とおく。
(a＋tb)・(2a−b)
＝2|a|²＋(2t−1)a・b−t|b|²
＝8＋(2t−1)−9t＝7−7t
よって 7−7t＝0 から t＝1。このとき |a＋b|²＝15，|2a−b|²＝21 で、どちらも零ベクトルではない。
問10応用：実数解の個数と内積
a，b は平行でない零ベクトルではない2つのベクトルとする。a＋tb と 4a＋tb が垂直になる実数 t がただ1つ存在するとき、a と b のなす角 θ に対する cos θ の値をすべて求めよ。
解答・解説
解答cos θ＝±45
解説平行でないという条件から、a＋tb と 4a＋tb はいずれも零ベクトルにならない。したがって垂直条件は、
|b|²t²＋5(a・b)t＋4|a|²＝0。
|b|²＞0 なので、実数解がただ1つである条件は判別式 D＝0。25(a・b)²−16|a|²|b|²＝0
両辺を |a|²|b|² で割ると、25cos²θ−16＝0。
よって cos θ＝±45。どちらも平行でない条件と矛盾しない。