数学検定2級

\(y' = 3x^2 - 4x + 3\) より、\(x = 1\) における微分係数は \[ 3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 2 \] よって、点 \((1,\ 1)\) における接線の方程式は \[ y - 1 = 2(x - 1) \quad \text{すなわち} \quad y = 2x - 1 \]

接点の座標を \((t,\ t^3)\) とおく。\(y' = 3x^2\) より、接線の方程式は \[ y - t^3 = 3t^2(x - t) \quad \text{すなわち} \quad y = 3t^2 x - 2t^3 \] これが点 \((0,\ -2)\) を通るから \[ -2 = -2t^3 \qquad t^3 = 1 \] \(t\) は実数なので \(t = 1\)。よって、求める接線の方程式は \(y = 3x - 2\)

\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) \] \(f'(x) = 0\) とすると \(x = 1,\ 3\)。増減表は次のようになる。

\(x\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)	\(3\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	↗	極大 \(5\)	↘	極小 \(1\)	↗

\(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\)，\(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\)

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \] \(f'(x) = 0\) とすると \(x = 0,\ 2\)。\(-1 \leqq x \leqq 3\) における増減表は次のようになる。

\(x\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)	\(3\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(-2\)	↗	極大 \(2\)	↘	極小 \(-2\)	↗	\(2\)

端点の値 \(f(-1) = -2\)，\(f(3) = 2\) と極値を比べて、
最大値 \(2\)（\(x = 0,\ 3\)），最小値 \(-2\)（\(x = -1,\ 2\)）

方程式を \(x^3 - 3x^2 - 9x = k\) と変形する。実数解の個数は、曲線 \(y = x^3 - 3x^2 - 9x\) と直線 \(y = k\) の共有点の個数に等しい。 \[ y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) \]

\(x\)	\(\cdots\)	\(-1\)	\(\cdots\)	\(3\)	\(\cdots\)
\(y'\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(y\)	↗	極大 \(5\)	↘	極小 \(-27\)	↗

グラフより、直線 \(y = k\) が曲線と異なる3点で交わるのは \(-27 < k < 5\) のときである。

\(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)。\(x = 1\) で極小値 \(-5\) をとるので \[ f'(1) = 3 + 2a + b = 0, \qquad f(1) = 1 + a + b = -5 \] これを解いて \(a = 3,\ b = -9\)。
このとき \(f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x + 3)(x - 1)\)

\(x\)	\(\cdots\)	\(-3\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	↗	極大 \(27\)	↘	極小 \(-5\)	↗

確かに \(x = 1\) で極小となり、条件を満たす。極大値は \[ f(-3) = -27 + 27 + 27 = 27 \]

※ \(f'(1) = 0\) は極値をとるための必要条件なので、増減表で極小になることを確かめる。

\[ \begin{aligned} \int_{-1}^{2} (3x^2 - 4x + 1)\,dx &= \Bigl[\, x^3 - 2x^2 + x \,\Bigr]_{-1}^{2} \\ &= (8 - 8 + 2) - (-1 - 2 - 1) \\ &= 2 - (-4) = 6 \end{aligned} \]

等式の両辺を \(x\) で微分すると、\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x)\) より \[ f(x) = 2x - 3 \] また、等式に \(x = a\) を代入すると、左辺は \(\displaystyle \int_{a}^{a} f(t)\,dt = 0\) となるから \[ 0 = a^2 - 3a + 2 \qquad (a - 1)(a - 2) = 0 \] よって \(a = 1,\ 2\)

交点の \(x\) 座標は \(x^2 = x + 2\) より \((x + 1)(x - 2) = 0\)，\(x = -1,\ 2\)
\(-1 \leqq x \leqq 2\) では \(x + 2 \geqq x^2\) であるから \[ \begin{aligned} S &= \int_{-1}^{2} \{(x + 2) - x^2\}\,dx = \Bigl[\, \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \,\Bigr]_{-1}^{2} \\ &= \Bigl(2 + 4 - \frac{8}{3}\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\Bigr) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2} \end{aligned} \]

別解：\(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{(\beta - \alpha)^3}{6}\) を用いると \(\displaystyle S = -\int_{-1}^{2} (x + 1)(x - 2)\,dx = \frac{\{2 - (-1)\}^3}{6} = \frac{9}{2}\)

\(x^3 - x = x(x + 1)(x - 1) = 0\) より、曲線と \(x\) 軸の交点の \(x\) 座標は \(x = -1,\ 0,\ 1\)
\(-1 \leqq x \leqq 0\) では \(y \geqq 0\)，\(0 \leqq x \leqq 1\) では \(y \leqq 0\) であるから \[ \begin{aligned} S &= \int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx - \int_{0}^{1} (x^3 - x)\,dx \\ &= \Bigl[\, \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \,\Bigr]_{-1}^{0} - \Bigl[\, \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \,\Bigr]_{0}^{1} \\ &= \Bigl\{0 - \Bigl(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\Bigr)\Bigr\} - \Bigl(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \end{aligned} \]

※ 曲線は原点に関して対称なので、\(S = 2\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3 - x)\,dx\) としてもよい。