数学検定2級

分子を有理化する。

√1＋3x − √1−xx＝4√1＋3x ＋ √1−x

右辺で x → 0 とすると、4 ÷ (1＋1)＝2。

y′＝3x²−2ax より、接点の x 座標は 3x²−2ax＋2a＝0 を満たす。

接点がただ1つになる条件は、この2次方程式が重解をもつこと。

D＝(−2a)²−4・3・2a＝4a(a−6)＝0

a ＞ 0 より、a＝6。

接点の x 座標を t とすると、接線は y＝(3t²−3)x−2t³。

点 (1, −2) を代入すると、2t³−3t²＋1＝(t−1)²(2t＋1)＝0。

t＝1、−12 を接線の式に代入し、上の2本を得る。

円柱の底面の半径を r、高さの半分を t とする。球の中心を通る断面より、r²＋t²＝9、0 ＜ t ＜ 3。

V＝πr²・2t＝2π(9t−t³)、V′＝6π(3−t²)

0 ＜ t ＜ √3 で増加、√3 ＜ t ＜ 3 で減少するため、t＝√3 で最大。

h＝2t＝2√3、V＝2π(9√3−3√3)＝12√3π

b＝|a| とおく。f は奇関数で、f′(x)＝3(x²−b²)。

0 ≦ b ≦ 2 のとき、端点と停留点での値を比べると、

M(a)＝max { |8−6b²|, 2b³ }。

0 ≦ b ≦ 1 なら 8−6b² ≧ 2。1 ≦ b ≦ 2 なら 2b³ ≧ 2。b＝1 では M＝2 となる。

b ＞ 2 なら f(−2)＝6b²−8 ＞ 16 より M ＞ 2。したがって最小値は 2（a＝±1）。

F′(x) を積分すると、F(x)＝2x³−2x²＋3x＋C。

F(1)＝2−2＋3＋C＝5 より、C＝2。

原始関数は x³−2x²＋x である。

[x³−2x²＋x]₋₁²＝(8−8＋2)−(−1−2−1)＝6

交点の x 座標は、x²−2x＝x より x＝0, 3。区間 0 ≦ x ≦ 3 では直線が放物線の上にある。

S＝${\int }_0^3${x−(x²−2x)} dx＝[ 32x²−13x³ ]₀³＝92

x 軸との交点の x 座標は −2, 0, 2。関数は奇関数なので、2つの部分の面積は等しい。

0 ≦ x ≦ 2 では x³−4x ≦ 0 であるから、

S＝2${\int }_0^2$(4x−x³) dx＝2[2x²−14x⁴]₀²＝8

符号が変わるため、−2 から 2 までの定積分をそのまま面積にしないこと。

x＝a で絶対値の中の符号が変わるので、

I(a)＝${\int }_0^{\mathrm{a}}$(a²−x²) dx ＋ ${\int }_{\mathrm{a}}^2$(x²−a²) dx

＝43a³−2a²＋83

I′(a)＝4a(a−1) より、0 ＜ a ＜ 1 で減少、1 ＜ a ＜ 2 で増加。

したがって a＝1 のとき最小となり、I(1)＝43−2＋83＝2。